中心仿射微分幾何若干問題研究

《中心仿射微分幾何若干問題研究》是依託東北大學，由楊雲擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：中心仿射微分幾何若干問題研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：楊雲
• 依託單位：東北大學

中文摘要

變換是在幾何研究中涉及到的重要而又基本的對象之一,如歐氏幾何的正交變換，射影幾何的射影變換，仿射幾何的么模仿射變換等等。本項目研究涉及中心仿射變換，即研究仿射空間中子流形在中心仿射變換下的微分不變數和積分不變數。在仿射空間中研究子流形首先要解決誘導度量問題。在前期工作中，我們運用微分幾何和微分方程的一些理論定義了子流形上的中心仿射度量，得到了一些基本結果。本項目首先在前期工作的基礎上，解決已經出現的微分方程和與它們相關聯的幾何意義。其次將挖掘在前期研究工作中出現的這些中心仿射不變數之間的深入聯繫，同時發現一些新的不變數，探討它們對不同類型中心仿射浸入的影響。再次需要將3維和4維仿射空間中的研究結果推廣到高維仿射空間中，得到更一般的理論。最後將基於中心仿射不變數在仿射空間中和歐氏空間中的幾何意義，對中心仿射子流形進行一些有意義的分類。本項目預期將歐氏空間微分幾何的部分結果推廣到仿射空間。

結題摘要

1872年德國數學家克萊因在埃爾朗根大學的教授就職演講中，作了題為《關於近代幾何研究的比較考察》的論文演講，論述了變換群在幾何中的主導作用，把到當時為止已發現的所有幾何統一在變換群論觀點之下，明確地給出了幾何的一種新定義，把幾何定義為一個變換群之下的不變性質。這種觀點突出了變換群在研討幾何中的地位，後來簡稱為《埃爾朗根綱領》。因此，仿射微分幾何的根本目的是研究子流形在仿射變換群下的不變性質。本項目研究了中心仿射變換下，仿射空間中的超曲面和餘二維子流形的微分不變數和積分不變數。首先，本項目研究了3 維仿射空間中的仿射旋轉曲面在中心仿射變換下的不變性質。研究Pick 不變數為零的中心仿射旋轉曲面，得到3 維仿射空間中旋轉曲面的分類。求解相關的常微分方程和偏微分方程，對具有關於中心仿射度量的切比雪夫常法化向量場的旋轉曲面進行分類。其次，本項目研究了4 維仿射空間中的中心仿射曲面。得到了餘二維中心仿射浸入的完美定理。在退化的第二基本形式和Pick 不變數為零的條件下，得到了平坦的中心仿射曲面的分類。在平行的第二基本形式和Pick 不變數為零的條件下，得到了平坦的中心仿射曲面的分類。