下極限函式

下極限函式是為判斷函式下半連續性而引進的一個概念。設f(x)是定義在點集E上的擴充實值函式，若在閉包E內的點x的δ鄰域與E的交內，函式f所取的值的下確界為m(x)，則m(x,δ)在δ趨於0時的極限稱為f(x)沿E的下極限函式。

基本介紹

• 中文名：下極限函式
• 外文名：lower limit function
• 適用範圍：數理科學

簡介

下極限函式是為判斷函式下半連續性而引進的一個概念。

設f(x)是定義在點集E上的擴充實值函式，若在閉包E內的點x的δ鄰域與E的交內，函式f所取的值的下確界為m(x)，則 稱為f(x)沿E的下極限函式。

性質

當x₀∈E，m(x₀)=f(x₀)時，即-f(x)在x₀上半部分連續時，稱f在x₀處下半連續。當x₀∈E，M(x₀)=f(x₀)時，稱f在x₀處上半連續。這兩種情形統稱為f在x₀處半連續。

下確界

“下確界”是數學分析中的基本概念，它是在“下界”的基礎上定義的。

任給一數集E，我們稱E的最大下界為E的下確界，記為infE. 顯然，E中每個元素均大於或等於infE。

上極限函式

上極限函式是為判斷函式上半連續性而引進的一個概念。

設f(x)是定義在點集E上的擴充實值函式，若在閉包E內的點x的δ領域與E的交內，函式f所取的值的上確界為M(x)，則 稱為f(x)沿E的上極限函式。