基本介紹
來歷,三角函式符號,三角函式公式表,
來歷
正弦是最重要也是最古老的一種三角函式。早期的三角學，是伴隨著天文學而產生的。古希臘天文學派希帕霍斯為了天文觀測的需要，製作了一個“弦表”，即在圓內不同圓心角所對弦長的表。相當於現在圓心角一半的正弦表的兩倍。這就是正弦表的前身，可惜沒有保存下來。
希臘的數學轉入印度，阿耶波多作了重大的改革。一方面他定半徑為3438，含有弧度制的思想。另一方面他計算半弦（相當於現在的正弦線）而不是希臘人的全弦。他稱半弦為jiva，是獵人弓弦的意思。後來印度的書籍被譯成阿拉伯文,jiva被音譯成jiba，但此字在阿拉伯文中沒有意義，輾轉傳抄，又被誤寫成jaib，意思是胸膛或海灣。12世紀，歐洲人從阿拉伯的文獻中尋求知識。1150年左右，義大利翻譯家傑拉德將jaib意譯為拉丁文sinus，這就是現存sine一詞的來源。英文保留了sinus這個詞，意義也不曾變。
sinus並沒有很快地被採用。同時並存的正弦符號還有Perpendiculum（垂直線），表示正弦的符號並不統一。計算尺的設計者岡特在他手畫的圖上用sin表示正弦，後來，英國的奧特雷德也使用了sin這一縮寫，同時又簡寫成S。與此同時，法國的埃里岡在《數學教程》中引入了一整套數學符號，包括sin，但仍然沒有受到同時代人的注意。直到18世紀中葉，逐漸趨於統一用sin。餘弦符號ces，也在18世紀變成現在cos。
三角函式符號
毛羅利科最早於1558年已採用三角函式符號（Signs for trigonometric functions）， 但當時並無函式概念，於是只稱作三角線（ trigonometric lines）。他以sinus 1m arcus 表示正弦，以sinus 2m arcus表示餘弦。
而首個真正使用簡化符號表示三角線的人是T.芬克。他於1583年，創立以“tangent” （正切）及“secant”（正割）表示相應之概念 ，其後他分別以符號“sin.”，“tan.”，“ sec.”，“sin. com”，“tan. com”，“ sec. com”表示正弦，正切，正割，餘弦，餘切，餘割，首三個符號與現代之符號相同。後來的 符號多有變化，下列的表便顯示了它們之發展變化。
使用者 年代 正弦 餘弦 正切 餘切 正割 餘割 備註
羅格蒙格努斯 1622 S.R. T. (Tang) T. cpl Sec Sec. Compl
吉拉爾 1626 tan sec.
傑克 1696 s. cos. t. cot. sec. cosec.
歐拉 1753 sin. cos. tag(tg). cot. sec. cosec
謝格內 1767 sin. cos. tan. cot. Ⅰ
巴洛 1814 sin cos. tan. cot. sec cosec Ⅰ
施泰納 1827 tg Ⅱ
皮爾斯 1861 sin cos. tan. cotall sec cosec
奧萊沃爾 1881 sin cos tan cot sec csc Ⅰ
申弗利斯 1886 tg ctg Ⅱ
萬特沃斯 1897 sin cos tan cot sec csc Ⅰ
舍費爾斯 1921 sin cos tg ctg sec csc Ⅱ
註：Ⅰ－現代（歐洲）大陸派三角函式符號。
Ⅱ－現代英美派三角函式符號
我國早期（1980年代以前）採用Ⅱ類三角函式符號，目前（1990年代以後）採用Ⅰ類三角函式符號。
1772年，C．申費爾以arc. tang. 表示反 正切；同年，拉格朗日采以arc. sin 1/1+α表示反正弦函式。1776年，蘭伯特則以arc. sin表示 同樣意思。1794年，鮑利以Arc.sin表示反正弦函式。其後這些記法逐漸得到普及，去掉符號中之小 點，便成現今通用之符號，如arc sin x，arc cos x 等。於三角函式前加arc表示反三角函式，而有時則 改以於三角函式前加大寫字母開頭Arc，以表示反三角函式之主值。
另一較常用之反三角函式符號如sin-1x ，tan-1x等，是赫謝爾於1813年開 始採用的，把反三角函式符號與反函式符號統一起來，至今亦有套用。 〔若對各三角函式的符號演變史感興趣，可參梁 宗巨（1995），《數學歷史典故》，頁100－108，台北：九章出版社。〕
三角函式公式表
sin(-a)=-sin(a)
cos(-a)=cos(a)
sin(pi/2-a)=cos(a)
cos(pi/2-a)=sin(a)
sin(pi/2+a)=cos(a)
cos(pi/2+a)=-sin(a)
sin(pi-a)=sin(a)
cos(pi-a)=-cos(a)
sin(pi+a)=-sin(a)
cos(pi+a)=-cos(a)
tgA=tanA=sinA/cosA
兩角和與差的三角函式
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))
tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))
三角函式和差化積公式
sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)
sin(a)−sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)
cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)
sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]
cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
sin(2a)=2sin(a)cos(a)
cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)
tan(2α) = 2tanα/[1 - (tanα)^2] tan(1/2*α)=(sin α)/(1+cos α)=(1-cos α)/sin α
sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2
cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
其它公式
a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a]
a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b]
1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2
1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2
其他非重點三角函式
csc(a)=1/sin(a)
sec(a)=1/cos(a)
sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2
cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2
tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)
