一類代數逆特徵值問題算法的研究與套用

《一類代數逆特徵值問題算法的研究與套用》是依託浙江師範大學，由沈衛平擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：一類代數逆特徵值問題算法的研究與套用
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：沈衛平
• 依託單位：浙江師範大學

項目摘要

本項目將代數逆特徵值問題劃歸到Banach空間中非線性運算元方程的求解問題，利用代數和分析的技巧，研究該類逆特徵值問題算法的構造、分析及套用。在重根特徵值情形下，首次討論求解該類逆特徵值問題的非精確方法，從而擺脫已有的非精確方法對稀疏條件的依賴；其次，針對已有的數值方法要求求解近似Jacobian方程這一問題，構造和研究避免求解近似Jacobian方程的Ulm類方法，解決由近似Jacobian矩陣壞條件所引起的不穩定問題，並充分分析所構造的方法，建立這些方法的收斂性定理；另外，在稀疏條件下，本項目還將首次研究求解該類逆特徵值問題的數值方法的半局部收斂性，進一步深化和完備已有方法的收斂性結果；最後將理論成果套用到數學物理反問題、振動系統、分子光譜等領域中。本項目是屬於數值代數、數值泛函分析、套用數學等分支的交叉學科，無論在理論上還是在套用前景上都有重要的研究價值和學術意義。

結題摘要

逆特徵值問題在科學計算和工程問題中套用廣泛，例如逆Sturm-Liouville問題、動力系統、分子結構、地球物理等問題中均涉及到了逆特徵值問題。基於不同套用背景，逆特徵值問題的形式往往不是單一的。本課題圍繞某類代數逆特徵值問題算法的構造、分析及套用展開分析和研究。首先針對已有的求解該類逆特徵值問題的數值方法要求求解近似Jacobian 方程這一問題,構造了避免求解近Jacobian方程的Ulm類Cayley變換法, 從而解決了由近似Jacobian 矩陣壞條件所引起的不穩定問題，並充分分析所構造的方法，在給定特徵值互異條件下建立了該方法的收斂性定理,並通過具體的數值例子驗證了理論結果。其次，在給定特徵值互異條件下，本項目建立了求解該類逆特徵值問題的牛頓類方法的半局部收斂性，建立了僅依賴於初始點信息的收斂性判據。再次，針對已有的求解該類逆特徵值問題的數值方法對互異特徵值這一條件的依賴問題, 本項目還提出和研究了若干用於求解帶重特徵值的逆特徵值問題的數值方法，並給出相應的收斂性分析。然後，作為該逆特徵值問題的一個延拓，本項目還研究了相應的逆奇異值問題的數值求解與擾動性問題。最後，同時根據國內外研究動態和本項目研究的需要, 加強了關於一般非線性運算元方程的數值求解及不動點理論等問題的研究。在研究的同時,我們加強了同國內外同行專家的學術交流,我們項目研究期間訪問了澳門大學的金小慶教授、台灣中山大學的姚任之教授等，同時也邀請了浙江大學的李沖教授、廈門大學的白正簡教授及台灣中山大學的姚任之教授等。本項目的研究取得了多個研究成果，完成了多篇學術論文，其中7篇已被錄用或發表在SCI雜誌上，另外還有多篇文章已完成並已投稿。