一致最大功效檢驗

簡介

一致最大功效檢驗(uniformly most powerful test)亦稱一致最強檢驗。簡稱UMP，一種水平a檢驗。

在統計假設檢驗中，一致最大功效檢驗（UMP）是在給定大小α的所有可能測試中具有最大冪β的假設檢驗。例如，根據奈曼 - 皮爾森引理，似然比檢驗是測試簡單（點）假設的一致最大功效檢驗。

讓X表示從機率密度函式或機率質量函式的參數族中獲取的隨機向量（對應於測量）

，這取決於θ中未知的確定性參數。參數空間θ被分成兩個不相交的集合θ₀和θ₁。讓H₀表示θ₀中θ∈θ0的假設，並且H1表示θ1中θ∈θ1的假設。假設的二進制測試使用測試函式φ（x）執行。

這意味著

有效，H₁就有效，並且如果

有效，H0就有效。注意

是測量空間的不相交的覆蓋。

一個測試函式φ（x）是大小為α的一致最大功效檢驗，對於任何其他測試函式

滿足

我們有

卡林魯賓定理可以被認為是尼曼 - 皮爾森引理對複合假說的延伸。考慮具有由標量參數θ參數化的機率密度函式的標量測量，並定義似然比

如果 l（x）單調不減少，則在x中，對於任何對θ₁>θ0（意味著x越大，H₁的可能性越大），則閾值測試：

其中x₀被選擇為使得

是測試尺寸α的一致最大功效檢驗測試H0：θ≤θ0，H1：θ>θ0。

請注意，完全相同的測試也是一致最大功效檢驗用於測試H0：θ=θ0，H1：θ>θ0。

儘管由於對標量參數和標量測量的限制，卡林 - 魯賓定理可能看起來很弱，但事實證明存在許多問題。特別地，具有機率密度函式或機率質量函式的一維指數族，

在足夠的統計量T（x）中具有單調非遞減似然比。

讓X={X0,X1......Xn}表示常態分配 N維隨機向量與平均值θ_m和協方差矩陣R，則

為

這正是前面部分所示的指數族的形式，具有足夠的統計量，

因此，我們得出結論，

是測試尺寸α的一致最大功效檢驗測試H0：θ≤θ0，H1：θ>θ0。