一致最大功效無偏檢驗

一致最大功效無偏檢驗(uniformly most powerful unbiased test)是指在一切無偏檢驗中兩類錯誤機率都一致小的檢驗。在許多重要場合都存在—致最大功效無偏檢驗。

基本介紹

• 中文名：一致最大功效無偏檢驗
• 外文名：uniformly most powerful unbiased test
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：統計學（統計假設檢驗）
• 相關概念：無偏檢驗，功效函式等

基本概念

對於區分假設

和

的檢驗問題，如果存在一致最大功效檢驗，則自然採用這樣的檢驗，因為它是最優的。然而，在許多重要的場合，不存在一致最大功效檢驗，這時，需要給所考慮的檢驗加上某些很自然的限制，從而縮小選擇的範圍，並且在縮小了的範圍內選擇一致最大功效檢驗，檢驗的無偏性就是一個很自然的要求。在許多重要的場合，雖然一致最大功效檢驗並不存在，然而一致最大功效無偏檢驗總是存在的。

無偏檢驗稱檢驗V為區分假設和的無偏檢驗，如果它的功效函式，具有下面的性質：

如果無偏檢驗V的水平為α(0<α<1)，則

一致最大功效無偏檢驗稱無偏檢驗V*為區分假設和的一致最大功效無偏檢驗，如果對於其它任何無偏檢驗V，有

其中和分別為檢驗V*和檢驗V的功效函式。一般，先選定一個α(0<α<1)作為檢驗的顯著性水平，然後在一切α-水平的無偏檢驗中尋求一α-水平一致最大功效檢驗V*，使對於其它任何α-水平的無偏檢驗V，有

例題解析

已知，關於未知參數有兩個假設

1)不存在區分假設和的α-水平一致最大功效檢驗。事實上，對於任意α(0<α<1)，令

其中，而是標準常態分配之-水平雙側分位數。由功效函式的定義，容易驗證檢驗V₁和檢驗V₂的功效函式分別為

其中。此外，易見是減函式，而是增函式(見圖1)。

圖1

檢驗V₁是區分和的α-水平一致最大功效檢驗；檢驗V₂是區分和的α-水平一致最大功效檢驗。由此可見，對於任意α不存在區分假設和的α-水平一致最大功效檢驗。

2)檢驗V₁和檢驗V₂都不是無偏的，因為(見圖1)

然而任何無偏檢驗的功效函式都應滿足，若；

3)考慮檢驗V*：

其中，而是標準常態分配α-水平雙側分位數。

a)檢驗V*是區分假設和的α-水平無偏檢驗。事實上，由功效函式的定義，易見(見圖1)它的功效函式為：

特別，。此外，由於當時遞減，而當時遞增，可見當時，，從而檢驗V*是無偏的。

b)可以證明檢驗V*是α-水平一致最大功效無偏檢驗。為證明這一事實需要用到更多的知識，故在此不作介紹．圖1是功效函式的示意圖。