一次曲面

基本介紹

在空間解析幾何中，空間曲面用三元方程F(x，y，z)=0來表示，如果方程中x，y，z都是一次的，所表示的曲面稱為一次曲面；同樣，二次方程所表示的曲面就稱為二次曲面。

下面我們將確定一次曲面是平面，而且僅僅是平面，並且還要研究各種不同形式的平面方程式。

1.定理1 在笛卡兒直角坐標系中，每一個平面都是由一個一次方程式所確定的。

證明設已知某笛卡兒直角坐標系,我們試研究任意平面α,並且證明這個平面是由一個一次方程式所確定的。在平面α上任取一點

;此外再取垂直於平面α的任意向量(只要不等於零即可!)。我們用字母n表示這個向量，並用字母A, B, C表示它在坐標軸上的射影。

設M(x,y,z)是任意一點。當而且僅僅當向量

垂直於向量n時,該點才在平面α上。換句話說，M點在平面α上的條件是:

如果我們能用坐標x, y, z表示這個條件，那么，我們便得平面α的方程式。為了這個目的,我們寫出向量

和n的坐標:

我們已知兩個向量互相垂直的判別法則，是它們的兩個對應坐標的乘積和等於零。因此，當而且僅僅當

的情況時，

⊥n。這就是我們所要求的平面α的方程式，因為當而且僅僅當M點在平面α上時(即當

⊥n時),M點的坐標x, y,z才滿足此方程式。

脫去括弧,將方程式(1)變形為:

再用字母D表示數

,便得:

由此可知，平面α確實是由一個一次方程式所確定的。因此，定理得證。

2.凡垂直於平面的每一個向量(不等於零)，都叫做它的法向量。使用這種命名,我們可以說:方程式

是通過點

且有一法向量n={A,B,C}的平面方程式。

下列形式的方程式:

叫做平面的一般方程式。

定理在笛卡兒直角坐標系中每一個一次方程式確定一個平面。

證明設已知任意一個笛卡兒直角坐標系,我們來研究任意一個一次方程式

當我們說“任意”方程式時,那是說此時的係數A, B, C, D可以為任意數，當然要去掉三個係數A, B ,C同時都等於零的情況。我們必須證明方程式(2)是某平面的方程式。

設

是方程式(2)的任意一組解,也就是三個解滿足這個方程式。用數

代換方程式(2)右邊的流動坐標，我們便得一算術恆等式:

從方程式(2)減去恆等式(3)，我們得方程式

根據上文所述(見2)，它是通過點

且其法線向量為n={A,B,C}的平面方程式，但方程式(2)與方程式(1)是同解方程式，因為方程式(1是從方程式(2)減去恆等式(3)而得到的,而方程式(2),就本身而言，又是在方程式(1)加上恆等式(3)而得到的。所以，方程式(2)也是一個平面方程式。

我們既已證明,任意一個一次方程式確定一個平面,同時定理也就得到證明。