等溫坐標系

等溫坐標系(isothermal coordinate system)是曲面上的一種特殊坐標系。若曲面的第一基本形式Ⅰ在坐標系(u，v)下可以寫Ⅰ=λ(du+dv)，其中λ=λ(u，v)，則稱(u，v)為曲面的等溫坐標系，當曲面的第一類基本量E，F，G是u，v的解析函式時，存在容許的參數變換將(u，v)變為等溫坐標系，u和v分別稱為曲面的等溫參數。

基本介紹

• 中文名：等溫坐標系
• 外文名：isothermal coordinate system
• 所屬學科：數學
• 相關概念：曲面的第一基本形式

基本介紹

等溫坐標系是曲面上的一種特殊坐標系。若曲面的第一基本形式Ⅰ在坐標系下可以寫成

其中，則稱為曲面的等溫坐標系。當曲面的第一類基本量是的解析函式時，存在容許的參數變換將變為等溫坐標系。分別稱為曲面的等溫參數。關於的解析性要求可以減弱到一次以上連續可微，並且高斯曲率K是的連續函式的情形(當是兩次以上連續可微時，上述要求都能滿足)。當曲面上選擇等溫坐標系時，它建立了從曲面到平面的保角對應。前面提到的結果說明：正則曲面在局部上總是可以與平面建立保角對應的。在等溫坐標系下，若引入復坐標，則，從而確定了一個復結構。這表明曲面在局部上總可以看成黎曼面。

詳細分析

曲面上的曲線坐標系稱為等溫坐標系。首先設曲面S在一般參數下的表達式為，在正交標架下，曲面的弧長元素化為平方和，即

其中，，為線性微分式。

將(1)式寫成復形式

等溫坐標的存在性是根據下列引理。

引理存在局部的復坐標z，使得

這是一個難證的定理，需要利用二階非線性橢圓型方程的理論及各種估計。

從上述定理可以知道，如果令，則

坐標系稱為曲面S的等溫坐標。因為在此坐標下，曲面的弧長與平面的弧長相差一個函式因子，所以，坐標平面上二條曲線的夾角與對應的曲面上的像曲線的夾角相等，即等坐標映射是從坐標平面到曲面S的等角映射。有時為方便起見，將等溫坐標寫成

現在我們明顯地寫出在等溫坐標下結構方程式中一些量的表達式。

首先，不難看出

再由結構方程式可知，聯絡形式為

則Gauss方程