胡克定律

胡克定律，曾譯為虎克定律，是力學彈性理論中的一條基本定律，表述為：固體材料受力之後，材料中的應力與應變（單位變形量）之間成線性關係。滿足胡克定律的材料稱為線彈性或胡克型（英文Hookean）材料。

從物理的角度看，胡克定律源於多數固體（或孤立分子）內部的原子在無外載作用下處於穩定平衡的狀態。

許多實際材料，如一根長度為L、橫截面積A的稜柱形棒，在力學上都可以用胡克定律來模擬——其單位伸長（或縮減）量（應變）在常係數E（稱為彈性模量）下，與拉（或壓）應力 σ 成正比例，即：彈簧給予物體的力F與長度變化量x成線性關係(F=-kx或△F=-kΔx)

其中Δx為總伸長（或縮減）量。胡克定律用17世紀英國物理學家羅伯特·胡克的名字命名。胡克提出該定律的過程頗有趣味，他於1676年發表了一句拉丁語字謎，謎面是：ceiiinosssttuv。兩年後他公布了謎底是：ut tensio sic vis，意思是“力如伸長（那樣變化）”，這正是胡克定律的中心內容。

基本介紹

• 中文名：胡克定律
• 外文名：Hooke's law
• 別名：彈性定律
• 表達式：F=-kx或△F=-kΔx
• 提出者：英國科學家胡克（Hooke）
• 提出時間：1678年
• 適用領域：現實世界中複雜的非線性現象
• 套用學科：物理學，力學

定律定義

胡克定律由R.胡克於1678年提出，表達式為或，其中是常數，是物體的勁度係數（倔強係數）（彈性係數）。在國際單位制中，的單位是牛頓，的單位是米，它是形變數（彈性形變），的單位是牛/米。勁度係數在數值上等於彈簧伸長（或縮短）單位長度時的彈力。

胡克定律的推論

胡克的彈性定律指出：彈簧在發生彈性形變時，彈簧的彈力和彈簧的伸長量（或壓縮量）成正比，即 。是物質的彈性係數，它只由材料的性質所決定，與其他因素無關。負號表示彈簧所產生的彈力與其伸長（或壓縮）的方向相反。

胡克的原始記錄

滿足胡克定律的彈性體是一個重要的物理理論模型，它是對現實世界中複雜的非線性本構關係的線性簡化，而實踐又證明了它在一定程度上是有效的。然而現實中也存在著大量不滿足胡克定律的實例。胡克定律的重要意義不只在於它描述了彈性體形變與力的關係，更在於它開創了一種研究的重要方法：將現實世界中複雜的非線性現象作線性簡化，這種方法的使用在理論物理學中是數見不鮮的。

式中表示內力，是作用的面積，是彈性體原長，是受力後的伸長量，比例係數稱為彈性模量，也稱為楊氏模量，由於應變為純數，故彈性模量和應力具有相同的單位，彈性模量是描寫材料本身的物理量，由上式可知，應力大而應變小，則彈性模量較大；反之，彈性模量較小。彈性模量反映材料對於拉伸或壓縮變形的抵抗能力，對於一定的材料來說，拉伸和壓縮量的彈性模量不同，但二者相差不多，這時可認為兩者相同。

廣義胡克定理

應力應變曲線

胡克定律的內容為：在材料的線彈性範圍內（見上圖的材料應力應變曲線的比例極限範圍內），固體的單向拉伸變形與所受的外力成正比；也可表述為：在應力低於比例極限的情況下，固體中的應力與應變成正比，即，式中為常數，稱為彈性模量或楊氏模量。把胡克定律推廣套用於三向應力和應變狀態，則可得到廣義胡克定律。胡克定律為彈性力學的發展奠定了基礎。各向同性材料的廣義胡克定律有兩種常用的數學形式：

式中為應力分量，為應變分量；和為拉梅常量，又稱剪下模量。這些關係也可寫為：

為彈性模量（或楊氏模量）；為泊松比。、、和之間存在下列聯繫：

式（1）適用於已知應變求應力的問題，式（2）適用於已知應力求應變的問題。

適用範圍

線上彈性階段，廣義胡克定律成立，也就是應力（為比例極限）時成立。在彈性範圍內不一定成立，（為彈性極限），雖然在彈性範圍內，但廣義胡克定律不成立。

發展簡史

起初，胡克在做實驗的過程中，發現“彈簧上所加重量的大小與彈簧的伸長量成正比”，他又通過多次實驗驗證自己的猜想。1678年，胡克寫了一篇《彈簧》論文，向人們介紹了對彈性物體實驗的結果，為材料力學和彈性力學的發展奠定了基礎。

彈簧測力計

19世紀初，在前者做了不少實驗工作的前提下，英國科學家托馬斯·楊總結了胡克等人的研究成果，指出：如果彈性體的伸長量超過一定限度，材料就會斷裂，彈性力定律就不再適用了，明確地指出彈性力定律的適用範圍。（超出該適用範圍的形變就叫做範性形變）

至此，經過許多科學家的辛勤勞動，終於準確地確立了物體的彈性力定律。後人為紀念胡克的開創性工作和取得的成果，便把這個定律叫做胡克定律。

胡克定律的另一稱法——鄭玄-胡克定律

胡克定律是由英國力學家 R.胡克(Robert Hooke, 1635-1703) 於1678年發現的，胡克提出該定律的過程頗有趣味，他於1676年發表了一句拉丁語字謎，謎面是：ceiiinosssttuv。兩年後他公布了謎底是：ut tensio sic vis，意思是“力如伸長（那樣變化）”，這正是胡克定律的中心內容。實際上早於他1500年前，東漢的經學家和教育家鄭玄（公元127-200）為《周禮·冬官考工記·弓人》一文中的“量其力，有三鈞”一句作註解時，在《周禮註疏·卷四十二》中寫到：“假令弓力勝三石，引之中三尺，馳其弦，以繩緩擐之，每加物一石，則張一尺。”，正確地提示了力與形變成正比的關係，而鄭玄的發現要比胡克要早一千五百年。因此有物理學家認為胡克定律應稱之為“鄭玄-胡克定律”。

定律影響

胡克的發現直接導致了彈簧測力計———測量力的基本工具的誕生，並且直到現代的物理實驗室還在廣泛使用。彈簧測力計的原理也即是“胡克定律”。

擴展閱讀

幾種常見材料的彈性模量

胡克定律的張量形式

若要對處於三維應力狀態下的材料進行描述，需要定義一個包含81個彈性常數的四階張量以聯繫二階應力張量和應變張量(又稱格林張量)。

由於應力張量、應變張量和彈性係數張量存在對稱性(應力張量的對稱性就是材料力學中的剪應力互等定理)。81個彈性常數中對於最一般的材料也只有21個是獨立的。

由於應力的單位量綱(力/面積)與壓強相同，而應變是無量綱的，所以彈性常數張量中每一個元素(分量)都具有壓強的量綱。

對於固體材料大變形力學行為的描述需要用到新胡克型固體模型(neo-hookeansolids)和 mooney-rivlin 型固體模型

彈簧方程

胡克定律能精確地描述普通彈簧在變形不太大時的力學行為。胡克定律套用的一個常見例子是彈簧。在彈性限度內，彈簧施加在物體上的彈力和彈簧的長度變化量成線性關係，即:　

彈簧變形變數示意圖

式中是彈簧的勁度係數(或稱為倔強係數)，它由彈簧材料的性質和幾何外形所決定。負號表示彈簧所產生的彈力與其伸長(或壓縮)的方向相反。這種彈力稱為回復力，表示它有使系統回復平衡的趨勢。滿足上式的彈簧稱為線性彈簧。