adj(線性代數術語)

在矩陣理論中,adj表示一個矩陣的伴隨矩陣。

在線性代數中，一個方形矩陣的伴隨矩陣是一個類似於逆矩陣的概念。如果矩陣可逆，那么它的逆矩陣和它的伴隨矩陣之間只差一個係數。然而，伴隨矩陣對不可逆的矩陣也有定義，並且不需要用到除法。

定義

參見：子式和餘子式、余因子矩陣及轉置矩陣。

設R是一個交換環，A是一個以R中元素為係數的 n×n 的矩陣。A的伴隨矩陣可按如下步驟定義：

• 定義：A關於第i 行第j 列的餘子式（記作M_ij）是去掉A的第i行第j列之後得到的(n − 1)×(n − 1)矩陣的行列式。
• 定義：A關於第i 行第j 列的代數餘子式是：

代數餘子式

• 定義：A的餘子矩陣是一個n×n的矩陣C，使得其第i 行第j 列的元素是A關於第i 行第j 列的代數餘子式。

引入以上的概念後，可以定義：矩陣A的伴隨矩陣是A的餘子矩陣的轉置矩陣：

轉置矩陣

也就是說， A的伴隨矩陣是一個n×n的矩陣（記作adj(A)），使得其第i 行第j 列的元素是A關於第j 行第i 列的代數餘子式：

代數餘子式-2

例子

2x2矩陣

一個2x2矩陣

的伴隨矩陣是

3x3矩陣

對於3x3的矩陣，情況稍微複雜一點：

其伴隨矩陣是：

4

其中

5

要注意伴隨矩陣是餘子矩陣的轉置，第3行第2列的係數應該是A關於第2行第3列的代數餘子式。

具體情況

對於數值矩陣，例如求矩陣

6

的伴隨矩陣adj(A)，只需將數值代入上節得到的表達式中。

即

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其中M_ij為刪掉矩陣A的第 i 橫列與第 j 縱行後得到的行列式，C_ji為矩陣A的余因子。

例如adj(A)中第3列第2行的元素為

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依照其順序一一計算，便可得到計算後的結果是：

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套用

作為拉普拉斯公式的推論，關於n×n 矩陣A的行列式，有：

(*)

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其中I是n階的單位矩陣。事實上，A adj(A)的第i行第i列的係數是

。根據拉普拉斯公式，等於A的行列式。

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如果i ≠ j，那么A adj(A)的第i行第j列的係數是

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。拉普拉斯公式說明這個和等於0（實際上相當於把A的第j行元素換成第i行元素後求行列式。由於有兩行相同，行列式為0）。

由這個公式可以推出一個重要結論：交換環R上的矩陣A可逆若且唯若其行列式在環R中可逆。

這是因為如果A可逆，那么

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如果det(A)是環中的可逆元那么公式(*)表明

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性質

對n×n的矩陣A和B，有：

1.adj(Ⅰ)=Ⅰ

2.adj(AB)=adj(B)adj(A)

3.adj(A^T)=adj(A)^T

4.det(adj(A))=det(A)^n-1

5.

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6.當n>2時，

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7.如果A可逆，那么

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8.如果A是對稱矩陣，那么其伴隨矩陣也是對稱矩陣；如果A是反對稱矩陣，那么當n為偶數時，A的伴隨矩陣也是反對稱矩陣，n為奇數時則是對稱矩陣。

9.如果A是（半）正定矩陣，那么其伴隨矩陣也是（半）正定矩陣。

10.如果矩陣A和B相似，那么adj(A)和adj(B)也相似。

11.如果n>2，那么非零矩陣A是正交矩陣若且唯若adj(A)=±A^Τ

伴隨矩陣的秩

當矩陣A可逆時，它的伴隨矩陣也可逆，因此兩者的秩一樣，都是n。當矩陣A不可逆時，A的伴隨矩陣的秩通常並不與A相同。當A的秩為n-1時，其伴隨矩陣的秩為1，當A的秩小於n-1時，其伴隨矩陣為零矩陣。

伴隨矩陣的特徵值

設矩陣A在復域中的特徵值為 λ₁,λ₂...λ_n（即為特徵多項式的n個根），則A的伴隨矩陣的特徵值為

λ₂λ₃...λ_n，λ₁λ₃...λ_n，...，λ₁λ₂...λ_n-1。

伴隨矩陣和特徵多項式

設p(t) = det(A − tI)為A的特徵多項式，定義

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，那么：

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其中是p(t)的各項係數：

伴隨矩陣也出現在行列式的導數形式中。

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參見

• 逆矩陣

可逆元

餘子矩陣

行列式