radon變換

拉東變換是一個積分變換，它將定義在二維平面上的一個函式 f(x,y) 沿著平面上的任意一條直線做線積分，相當於對函式 f(x,y) 做 CT掃描。其基本套用是根據 CT 的透射光強重建出投影前的函式 f(x,y)，即拉東變換的反演問題。拉東變換由拉東在 1917 年提出，他也同時提出拉東變換的反演公式，以及三維空間的拉東變換公式。 此後不久，更高維空間的拉東變換被提出。 在複數域上有和拉東變換相似的 Penrose 變換。

基本介紹

• 中文名：拉東變換
• 外文名：Radon transform
• 簡介：原始函式的某個線積分值
• 套用：CT 成像等

概述

若函式 f(x,y) 表示一個未知的密度，對 f(x,y) 做拉東變換，相當於得到 f(x,y) 投影后的信號。舉例來說，f(x,y) 相當於人體組織，斷層掃描的輸出信號相當於對 f(x,y) 做拉東變換。 可以用拉東反變換從投影后的結果重建原始的密度函式 f(x,y)。拉東變換是重建 CT掃描的數學理論基礎。另一個廣為人知的名詞是三維重建。

拉東變換後的信號稱作 “正弦圖”，因為一個偏離中心的點的拉東變換是一條正弦曲線。所以對多個點狀分布的拉東變換會看起來像許多不同振福、相位的正弦函式疊加在一起。

定義

令函式 f(x,y) 在 R²上有緊緻支集 (compact support)。令 R 為拉東變換運算元，則 Rf(x,y) = R(s,α) 的定義如下：

由於狄拉克δ函式的限制，以上積分沿著直線 x cosα + y sinα = s 進行。CT 掃描可以沿任意法方向 α、與原點成任意距離 s 的直線。得到 R(s,α) 以後可以利用拉東變換的反演來重構 f(x,y)。

反演

要實現拉東變換 R(s,α) 的反演，重構出函式 f(x,y)，可以對變數 s 做傅立葉積分得

右邊剛好是 f(x,y) 的二維傅立葉變換

其中 k_x = k cosα，k_y = k sinα。於是 F(k_x,k_y) 任意點可算，再用二維傅立葉逆變換公式

即可求得原先的函式 f(x,y)。拉東變換中的線積分相當於二維傅立葉變換里沿著同相位線的積分。對 s 做傅立葉變換相當於沿垂直於同相位線的方向也做傅立葉變換，從而得到二維傅立葉變換。最後用傅立葉逆變換即得反演。