H∞最優控制

H∞最優控制，簡而言之，就是用H∞範數作為目標函式的度量邊行最佳化設計。H∞範數是定義在Hardy空間 上的範數，在H∞控制理論中是指在S右半平面上解析的有理函式陣的最大奇異值。

基本介紹

• 中文名：H∞最優控制
• 外文名：H-infinity optimal control
• 學科：控制科學與工程
• 創始人：Zame
• 時間：1981年
• 分類：最優控制和次優控制

基本概念

H∞控制方法始於1981年，Zame把SISO線性反饋系統的靈敏度問題看作是H∞最小範數問題，並涉及了古典控制理論的一些基本問題，立即引起了人們的極大注意。後來，H∞範數延伸到更為一般的問題，特別是在考慮魯棒性問題時，它比其它方法更為直接。H∞控制的表示很簡單，但求解過程卻十分複雜。目前主要有頻域法、多項式法、狀態空間法。

H∞最優控制，簡而言之，就是用H∞範數作為目標函式的度量邊行最佳化設計。H∞範數是定義在Hardy空間 上的範數，在H∞控制理論中是指在S右半平面上解析的有理函式陣的最大奇異值。在標量函式中就是幅頻特性的極大值。因此，如果使系統干擾至誤差的傳遞函式的H∞範數最小的話，那么，具有有限功率譜的干擾對系統誤差的影響將會降到最低限度。這就是H∞最優控制的基本思想.

H∞控制問題描述

跟蹤問題、模型匹配問題，魯棒穩定問題、加權混合靈敏度問題等各種控制問題都可以化為如圖1所示的H∞標準問題。

其中：

G、k分別表示廣義受控對象和控制器；

W: l維外部輸入信號；

z: ρ維受控輸出；

u: n維控制信號；

y: m維量測輸出。

按w、z、u、y 的維數將G(s)分塊為：

有

H∞控制的標準問題是：

求一真實有理的K，使G穩定，並使由W到Z的傳遞函式矩陣：

的範數最小，即

或者：求所有真實有理的K，使G穩定，且使

前者稱為H∞最優控制問題，後者稱為H∞次優控制問題。

H∞最優控制方法的套用

魯棒穩定問題

具有非結構性加法攝動系統的魯棒穩定性問題可以歸結為H∞次最佳化問題。這首先是由木村提出的, 考慮如圖所示系統：

假設不確定性攝動△P滿足不等式

其中，R為已知有理函式陣。根據小增益理論系統穩定的充分條件是

故對於滿足△P不等式的所有攝動系統魯棒穩定的充分條件是

可以證明上式也是系統內部穩定的必要條件，魯棒控制器的設計就歸結為求滿足上式的H∞次優控制器。

二次穩定問題

在研究具有結構性時變攝動系統的穩定性時，一般採用二次穩定性定義。設系統描述如下

其中，r(t) 表示時變攝動。所謂二次穩分是僧存在李亞譜諾夫函式及α>0

使得下式成立。

假設系統可以表示為

上式範數定義為最大奇異值，Pctcrson等給出了該系統二次穩定的充要條件：

（1）A為穩定陣

（2）

因此，如果我們採用狀態反饋u=-Kx則由上述結果可知，使系統二次穩定的魯棒控制器K必須滿足以下兩個條件：

（1）A-BK穩定

（2）

故二次穩定問題就歸結為求滿足上式的H∞次優控制器。