G-函式

在特殊函式中，Meijer G-函式是廣義超幾何函式的推廣，絕大多數的特殊函式都可以用 Meijer G-函式表示出來。

基本介紹

• 中文名：G-函式
• 外文名：Meijer G-function
• 分類：數理科學

定義

其中積分路徑C視參數p,q的相對大小而定。上面的積分表達式具有Mellin 逆變換的形式。

Meijer-G函式是上面積分表達式的一個推廣，它的定義為：

其中積分路徑C視參數的相對大小而定。但是，為了保證至少一條積分路徑有定義，要求

在書寫 Meijer-G函式時要注意，上標中的第一個參數和下標中的第二個參數對應的是b_k，而上標中的第二個參數和下標中的第一個參數對應的是a_k。

對比上述兩式可以得到廣義超幾何函式和 Meijer-G函式的關係：

基本性質

和廣義超幾何函式一樣，如果上下兩個向量組在合適的位置有相同的元素，則 Meijer-G函式可以降階，此處不再贅述。

一般關係式

Meijer-G函式的導函式具有下列性質：

注意h可以取任意整數值，取負數時表示不定積分。

另一方面，

上面的式子都可以直接由定義得到。

向量組中兩個元素相差整數時的關係式

由

又有

微分方程

由上面一般關係式一節的討論知 Meijer-G函式滿足下列微分方程，它與廣義超幾何函式滿足的微分方程形式上很類似。

這是一個 max(p,q) 階的線性微分方程，在z=0 附近的基本解組可以選取為

當p=q時兩種取法都可以。

從m,n的取值上就可以看到它們跟廣義超幾何函式有直接的聯繫。事實上的確如此，以第一種情況為例，

等號右邊的 Meijer-G函式顯然就是廣義超幾何函式。

特殊情形

因為廣義超幾何函式是 Meijer-G函式的特殊情形，故所有可以用廣義超幾何函式表示的特殊函式都可以用 Meijer-G函式表示，但是，在個別情況下，用 Meijer-G函式有更簡單的表示式，例子如諾依曼函式，它可以用超幾何函式₀F₁表示，但表示式僅僅是將（第一類）貝塞爾函式的超幾何函式表示式代入其定義式中，因此含有兩個超幾何函式。而用 Meijer-G函式就可以直接表示為：

另外一個例子是不完全伽瑪函式對參變數的偏導數，它無法用廣義超幾何函式表出，但可以用 Meijer-G函式表出：

事實上，不完全伽瑪函式對參變數的高階偏導數也可以用 Meijer-G函式表出，詳見不完全Γ函式一文。