基本介紹
- 中文名：鷹鴿博弈
- 外文名：Hawk-dove game
- 學科領域：博弈論、生物進化
- 提出者：約翰·史密斯
介紹,純策略均衡,混合策略均衡,貝葉斯博弈,拓展,一般形式,生物學實例,
介紹
雄鷹兇猛好鬥，從來不知道妥協。而鴿子溫順善良，避免衝突，愛好和平。哪個習性更適合生存呢？英國生物學家約翰·梅納德·史密斯根據這兩個動物的習性提出了著名的鷹鴿博弈。當兩隻鷹同時發現食物的時候，天性決定它們一定要戰鬥，最後會兩敗俱傷。所以二者的收益都是 -2。當兩隻鴿子相遇的時候，天性要求它們共同分享食物，所以各自收益都是 1。當鷹和鴿子相遇，鴿子會逃走，鷹獨得全部食物，故鷹的收益是 2，鴿子的收益是 0。
故我們可以得出下面這樣的收益矩陣：
鷹 | 鴿 | |
鷹 | -2，-2 | 2，0 |
鴿 | 0，2 | 1，1 |
純策略均衡
鷹鴿博弈的兩個純策略均衡是一隻鳥成為鷹，另一隻成為鴿子。這時候鷹不會願意變成鴿子而讓出一半的食物，鴿子也不會願意變成鷹而兩敗俱傷。所以鷹鴿博弈的純策略均衡十分類似於懦夫博弈。但它不同於囚徒困境博弈，因為一鷹一鴿的結局好於二鷹相鬥。但哪一隻鳥成為鷹，哪一隻成為鴿子則不一定。兩隻鴿子也不是一個均衡，因為它們之中總會有一隻首先變成鷹，獲得更多的食物。
混合策略均衡
鷹鴿博弈有一個混合策略均衡點，對於上面的收益矩陣，就是兩隻鳥都以 1/3 的機率成為鷹，2/3 的機率成為鴿子。此時雙方都沒有單方面改變鷹鴿機率的動機，因而是一個混合策略的納什均衡。從生物進化的角度來說，混合策略均衡相當於鳥群中有 1/3 的鳥是鷹，2/3 的鳥是鴿子。下面推導這一均衡。設鷹、鴿子的比例分別為 p 和 1 – p，則鳥群中一隻鷹的收益為
πh = -2 p + 2 (1 – p) = 2 – 4 p，
而一隻鴿子的收益為 πd = 1 – p。當 p < 1/3 時有 πh > πd，種群中鷹占優；當 p > 1/3 時有 πh < πd，種群中鴿占優。稱 p = 1/3 為鷹鴿博弈的進化穩定策略 (evolutionarily stable strategy)。此時 πh = πd = 2/3，鷹和鴿子的收益是 “平等” 的。
貝葉斯博弈
鷹鴿博弈還有不完全信息的版本。假設兩隻鳥看見食物以後，都有爭奪和逃走兩個選擇。但它們做出選擇之前並不知道對方是鷹還是鴿子。這時候的情形就是一個貝葉斯博弈。可以用 海薩尼轉換的方法計算鷹和鴿子面臨另一隻不知類別的鳥時，選擇爭奪食物和逃走策略的機率，以及種群中的鷹和鴿子的平衡數目比。例如，設三種遭遇下雙方的收益矩陣如下：
鷹-鷹 | 奪食 | 逃走 | 鴿-鴿 | 奪食 | 逃走 | 鷹-鴿 | 奪食 | 逃走 | ||
奪食 | -2,-2 | 2,-1 | 奪食 | 1,1 | 2,0 | 奪食 | 2,-2 | 2,0 | ||
逃走 | -1,2 | -1,-1 | 逃走 | 0,2 | 0,0 | 逃走 | -1,2 | -1,0 |
這裡假設鷹的體力消耗比較大，因此選擇逃走餓肚子的時候有 1 個單位的體力損耗。以上收益矩陣可得出，鴿子相遇會平分食物，鴿子遇到鷹會逃走，鷹遇到鷹也不是必有一戰，只是逃走一方代價較大。設鷹的爭奪機率為 a，鴿子的爭奪機率為 b，種群中的鷹和鴿子的數目比為 p : 1-p。用 海薩尼轉換可求解出平衡時 p = 0.5，鷹的奪食機率 a = 3/4，鴿子的奪食機率 b = 1/2。鷹比鴿子進攻性更強的主要原因是：1）鷹遇到鴿子必勝，能獨享全部食物；2）鷹的體力消耗更大，不願意放棄食物。
拓展
一般形式
鷹鴿博弈最先被生物學家作為不同物種競爭某種有限自然資源的模型而提出。假設資源總數為V，那么鷹可以從鴿子手中搶走全部資源V；而鴿子之間會平分資源，每人獲得
；而鷹遇到鷹會對資源進行激烈的競爭，雖然結果是平分資源，每人但需要付出更大的代價
。由此可知收益矩陣為：
鷹 | 鴿 | |
鷹 |  |  |
鴿 |  |  |
其中
。值得注意的是，如果改變參數的大小關係為
，那么博弈結構就會變成囚徒困境博弈，而不是鷹鴿博弈。
生物學實例
鷹鴿博弈作為一個博弈論模型套用廣泛，其原本的生物學意義也在2014年的一項關於澳大利亞七彩文鳥（Erythrura Gouldiae）的研究中得到驗證。七彩文鳥依據頭部顏色可分為紅色與黑色兩個變種，紅色變種更具侵略性，並能在巢穴競爭中戰勝黑色變種，故可以入侵黑色種群並占據支配地位。這裡紅色變種就相當於“鷹”，黑色變種就相當於“鴿”。當紅色變種逐漸增多達到一定比例時，由於紅色變種與紅色變種的競爭導致適合度下降，其數量不再增加，最終與黑色變種共存。這與鷹鴿博弈中混合策略均衡的存在是相符合的。
