高等數學輔導上冊

《高等數學輔導上冊》是2003年12月30日由清華大學出版社出版的圖書，作者是盛祥耀。本書的內容是高等數學者學習時的輔導教材。

基本介紹

• 中文名：高等數學輔導上冊
• 作者：盛祥耀　
• 出版日期：2003-12-30
• 出版社：清華大學出版社
• ISBN：9787302068822
• 定價：27元

圖書簡介

本書基本上是根據全國工科院校高等數學教學大綱的要求編寫的，也是編者多年來在清華大學從事高等數學的教學和輔導工作的結晶。

全書分上、下兩冊，上冊包含函式、極限與連續、導數與微分、導數的套用、不定積分、定積分、空間解析幾何及矢量代數共7章內容。每章的各節以“內容提要”開始，概括本書的主要知識內容；然後是“例題分析”，通過分析、講解、提問、小結等方式對各種題型的例題進行解剖、輔導。每章的末尾，安排“習題與答案”，供讀者練習、檢查。

本書可作為工科大學生、自學高等數學者學習時的輔導教材，也可供從事工科高等數學教學的教師、非數學專業的研究生及中學數學教師參考。

目錄

第1章函式1

1-1預備知識1

1-1-1內容提要1

1區間及其各種表示法1

2絕對值及其性質1

1-1-2例題分析2

1不等式與絕對值不等式之間的互換2

2解不等式3

1-2函式概念、定義域、反函式、函式符號6

1-2-1內容提要6

1函式定義6

2定義域6

3反函式定義6

1-2-2例題分析7

1有關函式概念的一些問題7

2求定義域9

3函式的符號運算11

4求反函式15

1-3偶函式、奇函式、周期函式、函式的增減性18

1-3-1內容提要18

1奇、偶函式的定義18

2周期函式定義18

3函式增減性定義18

1-3-2例題分析19

1判斷函式的奇偶性19

2函式周期性及其求法21

3判斷函式的增減性23

1-4建立函式關係24

1-4-1內容提要24

1-4-2例題分析25

1由物理知識尋找函式關係25

2由幾何條件尋找函式關係25

3由其他條件尋找函式關係28

1-5作函式的圖形29

1-5-1內容提要29

1-5-2例題分析31

1圖形的疊加31

2圖形的平移32

3綜合法作圖33

4帶有絕對值的函式作圖法34

5其他作圖法35

1-6綜合題、雜題37

1-7習題與答案42

1-7-1習題42

1-7-2答案46

第2章極限與連續50

2-1極限概念50

2-1-1內容提要50

1數列un的極限定義50

2當x→+∞時，函式f(x)以A為極限的定義50

3當x→-∞時，函式f(x)以A為極限的定義50

4當x→∞時，函式f(x)以A為極限的定義51

5當x→x0時，函式f(x)以A為極限的定義51

6無窮小量的定義51

7無窮大量的定義51

8有界函式與無界函式的定義52

2-1-2例題分析52

1有關極限概念中的一些問題52

2用極限定義證明極限54

3無窮小、無窮大、有界函式及無界函式62

2-2極限四則運算64

2-2-1內容提要64

2-2-2例題分析65

1有關極限四則運算的討論65

2用極限四則運算計算極限67

3有界函式與無窮小量的乘積定理73

2-3極限存在準則、兩個重要極限74

2-3-1內容提要74

2-3-2例題分析74

1兩個重要極限及其應注意的問題74

2利用極限存在準則求極限79

2-4無窮小量的比較82

2-4-1內容提要82

2-4-2例題分析83

1利用等價無窮小代換求極限83

2加減運算中用各自的等價無窮小代換求極限的條件85

3無窮小量階的判定88

2-5連續函式92

2-5-1內容提要92

1函式的連續定義92

2間斷點的定義92

3連續函式的性質92

4最大值和最小值定理93

5介值定理93

2-5-2例題分析93

1連續函式概念中的一些問題93

2函式關係已顯示的函式(包括分段函式)的連續性95

3函式關係未顯示的函式的連續性99

2-6綜合題、雜題102

2-7習題與答案111

2-7-1習題111

2-7-2答案115

第3章導數與微分117

3-1導數概念及其幾何意義117

3-1-1內容提要117

1函式在一點可導117

2函式在區間上可導118

3導數的幾何意義119

3-1-2例題分析120

1利用定義求函式的導數以及與導數概念有關的問題120

2利用導數的幾何意義求曲線的切線方程128

3-2導數計算131

3-2-1內容提要131

1導數的基本公司131

2導數運算的基本法則132

3複合函式求導法132

4反函式求導法133

5隱函式求導法133

6對數微分法133

7由參數方程所確定的函式的求導法134

3-2-2例題分析134

1利用四則、複合、隱函式求導法則求函式的導數134

2與導數的幾何意義、物理意義有關的問題146

3-3微分概念、性質及其在近似計算中的套用156

3-3-1內容提要156

1函式在一點可微156

2函式在區間上可微157

3微分的幾何意義157

4微分近似公式157

5微分的基本公式和運算法則157

3-3-2例題分析159

1與微分概念有關的問題159

2利用微分運算法則求函式的微分162

3利用微分近似公式計算函式的近似值164

4有關絕對誤差、相對誤差的計算168

3-4高階導數169

3-4-1內容提要169

1高階導數的定義169

2萊布尼茨公式170

3-4-2例題分析170

1利用定義或充要條件考察函式在一點的二階可導性170

2利用求導的運算法則求函式的二階導數172

3求函式的n階導數的幾種方法175

4高階導數的物理套用179

3-5習題與答案182

3-5-1習題182

3-5-2答案194

第4章導數的套用204

4-1微分中值定理204

4-1-1內容提要204

1羅爾定理204

2拉格朗日定理204

3柯西定理205

4-1-2例題分析205

1對微分中值定理的條件、結論正確理解與運用205

2有關證明不等式的幾個命題207

3證明不等式209

4有關函式零值點或方程根的問題216

5利用微分中值定理證明有關ζ的問題218

6綜合題、雜題223

4-2求未定型的極限226

4-2-1內容提要226

1洛必達法則226

2函式在一點可導的充分條件227

4-2-2例題分析229

1用洛必達法則求未定型極限229

2如何求冪指函式的極限 limx→x0f(x)g(x)238

3利用可導的充分條件考察函式在一點的可導性242

4-3泰勒公式248

4-3-1內容提要248

1帶有拉格朗日餘項的泰勒公式248

2帶有佩亞諾餘項的泰勒公式249

35個初等函式的麥克勞林公式249

4-3-2例題分析250

1如何把函式在一點展成泰勒公式250

2利用泰勒公式確定無窮小量的階數256

3利用泰勒公式(佩氏餘項)求未定型極限257

4利用泰勒公式(拉氏餘項)求函式近似值，並估計誤差264

4-4函式的研究及函式作圖267

4-4-1內容提要267

1函式的增減性與函式的極值點267

2函式在一區間上的最大值和最小值268

3曲線的凹凸性與曲線上的拐點269

4曲線的漸近線270

4-4-2例題分析270

1如何求函式的增減區間及極值點270

2如何求曲線的凹凸區間及拐點和漸近線273

3如何作函式的圖形276

4如何求函式在定義域上的最大值和最小值282

5最大、最小值的套用問題285

6利用導數證明可導函式的單調性289

7利用導數確定函式零值點(或方程的根)292

8綜合題、雜題295

4-5習題與答案303

4-5-1習題303

4-5-2答案313

第5章不定積分320

5-1簡單的不定積分計算320

5-1-1內容提要320

1原函式與不定積分概念320

2基本積分表320

3不定積分基本性質321

4簡單的變數代換法321

5-1-2例題分析322

1基本題分析322

2典型方法題分析327

5-2變數代換法與分部積分法340

5-2-1內容提要340

1變數代換法340

2分部積分法340

5-2-2例題分析340

1變數代換法340

2分部積分法347

5-3有理函式積分法358

5-3-1內容提要358

1有理函式概念358

2簡單分式和它們的積分359

3有理既約真分式的積分360

5-3-2例題分析360

5-4三角函式有理式的積分364

5-4-1內容提要364

1定義364

2求三角函式有理式的積分的方法365

5-4-2例題分析365

5-5簡單無理函式的積分370

5-5-1內容提要370

5-5-2例題分析371

1被積函式含有x, nax+bcx+d 有理式的積分371

2被積函式含有x, ax2+bx+c 有理式的積分372

5-6綜合題、雜題377

5-7習題與答案383

5-7-1習題383

5-7-2答案388

第6章定積分395

6-1定積分的概念與性質395

6-1-1內容提要395

1積分和395

2定積分定義395

3定積分的幾何意義396

4性質396

5定理397

6-1-2例題分析397

1有關定積分概念中的一些問題397

2不等式的證明406

6-2定積分計算411

6-2-1內容提要411

1變上限定積分411

2牛頓-萊布尼茨公式412

3變數代換法計算定積分412

4分部積分法計算定積分412

5計算技巧及公式412

6-2-2例題分析413

1概念題及簡單的計算題413

2用定積分計算和式的極限423

3有關變上限定積分的例題427

4綜合題、雜題434

6-3定積分套用452

6-3-1內容提要452

1用定積分解決實際問題的一般方法452

2常用的幾個公式453

6-3-2例題分析455

1定積分的幾何套用——平面圖形的面積與弧長455

2定積分的幾何套用——體積461

3定積分的物理套用——動能、轉動慣量、引力、功及質心467

6-4廣義積分483

6-4-1內容提要483

1積分區間為無窮的廣義積分483

2被積函式有無窮型不連續點的廣義積分484

3收斂性判別法485

6-4-2例題分析486

6-5習題與答案497

6-5-1習題497

6-5-2答案503

第7章空間解析幾何及矢量代數507

7-1空間直角坐標系矢量代數507

7-1-1內容提要507

1空間直角坐標系的基本問題507

2矢量507

3矢量在軸上的投影,射形定理508

4矢量的坐標表達式508

5矢量的加、減法和數乘矢量509

6線性關係510

7矢量的數量積（點積）510

8矢量的矢量積（叉積）510

9三個矢量的積511

7-1-2例題分析512

1矢量的概念及其加減法512

2數乘數量積矢量積517

3雜題證明題523

7-2平面與直線(一)531

7-2-1內容提要531

1曲面與方程531

2平面方程531

3直線方程532

7-2-2例題分析533

1特殊平面的方程533

2求平面的方程535

3求直線的方程538

7-3平面與直線(二)545

7-3-1內容提要545

1有關平面的問題545

2有關直線的問題545

3直線和平面的有關問題546

7-3-2例題分析547

1平面之間的夾角，直線與平面的交點，直線間平行、垂直、相交547

2直線在平面上的投影方程553

3平面直線的綜合題雜題555

7-4二次曲面的標準方程574

7-4-1內容提要574

1曲面與方程574

2空間曲線與方程575

3二次曲面的標準方程575

7-4-2例題分析576

1球面方程、旋轉面方程576

2投影柱面、投影曲線方程580

3作方程的圖形581

4雜題583

7-5習題與答案585

7-5-1習題585

7-5-2答案593

自我檢查題及解答597

自我檢查題(1)597

自我檢查題(1)解答598

自我檢查題(2)607

自我檢查題(2)解答608