高等微積分教程（上）：一元函式微積分與常微分方程

《高等微積分教程（上）：一元函式微積分與常微分方程》是2014年清華大學出版社出版的圖書，作者是劉智新、閆浩、章紀民。

基本介紹

• 書名：高等微積分教程(上):一元函式微積分與常微分方程
• 作者：劉智新、閆浩、章紀民
• ISBN：9787302381013
• 定價：32元
• 出版社：清華大學出版社
• 出版時間：2014-9-24
• 裝幀：平裝
• 版次：1-1

教材簡介

本教材是編者在多年的教學經驗與教學研究的基礎上編寫而成的.教材中適當加強了微積分的基本理論，同時並重微積分的套用，使之有助於培養學生分析問題和解決問題的能力.書中還給出了習題答案或提示，以方便教師教學與學生自學。

教材分為上、下兩冊,此書是上冊,內容包括實數與實數列的極限、一元函式極限與連續、一元函式導數與導數套用、一元函式積分與廣義積分、常微分方程. 本書可作為大學理工科非數學專業微積分課程的教材。

相關前言

微積分是現代大學生(包括理工科學生以及部分文科學生)大學入學後的第一門課程，也是大學數學教育的一門重要的基礎課程，其重要性已為大家所認可.但學生對這門課仍有恐懼感.對學生來說如何學好這門課，對教師來說如何教好這門課，都是廣大師生關注的事情.眾多微積分教材的出版，都是為了幫助學生更好地理解、學習這門課程，也為了教師更容易地教授這門課.本書的編寫就是這么一次嘗試.

一、 微積分的發展史

以英國科學家牛頓(Newton)和德國數學家萊布尼茨(Leibniz)在17世紀下半葉獨立研究和完成的，現在被稱為微積分基本定理的牛頓-萊布尼茨公式為標誌，微積分的創立和發展已經歷了三百多年的時間.但是微積分的思想可以追溯到公元前3世紀古希臘的阿基米德(Archimedes).他在研究一些關於面積、體積的幾何問題時，所用的方法就隱含著近代積分學的思想.而微分學的基礎——極限理論也早在公元前3世紀左右我國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中就有記載，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”； 在魏晉時期我國偉大的數學家劉徽在他的割圓術中提到的“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至於不可割，則與圓周和體而無所失矣”,都是樸素的、也是很典型的極限概念.利用割圓術，劉徽求出了圓周率π=3.1416…的結果.

牛頓和萊布尼茨的偉大工作是把微分學的中心問題——切線問題和積分學的中心問題——求積問題聯繫起來.用這種劃時代的聯繫所創立的微積分方法和手段，使得一些原本被認為是很難的天文學問題、物理學問題得到解決，展現了微積分的威力，推動了當時科學的發展.

儘管牛頓和萊布尼茨的理論在現在看來是正確的，但他們當時的工作是不完善的，尤其缺失數學分析的嚴密性.在一些基本概念上，例如“無窮”和“無窮小量”這些概念，他們的敘述十分含糊.“無窮小量”有時是以零的形式，有時又以非零而是有限的小量出現在牛頓的著作中.同樣，在萊布尼茨的著作中也有類似的混淆.這些缺陷，導致了越來越多的悖論和謬論的出現，引發了微積分的危機.

在隨後的幾百年中，許多數學家為微積分理論做出了奠基性的工作，其中有：

捷克的數學家和哲學家波爾查諾(Bolzano)(1781—1848年)，著有《無窮的悖論》，提出了級數收斂的概念，並對極限、連續和變數有了較深入的了解.

法國數學家柯西(Cauchy)(1789—1857年)，著有《分析教程》、《無窮小分析教程概論》和《微積分在幾何上的套用》，“柯西極限存在準則”給微積分奠定了嚴密的基礎，創立極限理論.

德國數學家維爾斯特拉斯(Weierstrass)(1815—1897年)，引進“ε-δ”、“ε-N”語言，在數學上“嚴格”定義了“極限”和“連續”，邏輯地構造了實數理論，系統建立了數學分析的基礎.

在微積分理論的發展之路上，還有一些數學家必須提到，他們是黎曼(Riemann)、歐拉(Euler)、拉格朗日(Lagrange)、阿貝爾(Abel)、戴德金(Dedekind)、康托爾(Cantor)，等等，他們的名字將在我們的教材中一次又一次地被提到.

我們將在教材中呈現的是經過許多數學家不斷完善、發展的微積分體系.

二、 我們的教材

教材的編寫與教學目的是緊密相關的.微積分的教學目的主要為：

工具與方法微積分是近代自然科學與工程技術的基礎，其工具與方法屬性是毋庸置疑的.物理、化學、生物、力學等，很少有學科不用到微積分的概念、思想方法與手段.即便是在許多人文社會科學中，也會用到微積分知識.

語言功能“數學教學也就是數學語言的教學.” 這是俄羅斯學者斯托利亞爾說過的.其實這裡說的數學語言，不僅僅指的是數學上用到的語言，還指科學上用到的語言.科學知識的獲取、發展及表述都需要一套語言，而數學語言是套用最廣的一種科學語言.微積分中所用到的語言，包括“ε-δ”、“ε-N”語言，是最重要的數學語言之一.因此數學語言的學習也是微積分課程的教學內容.

培養理性思維理性思維方法是處理科學問題所必需的一種思維方法.微積分理論中處處閃耀著歷史上一代又一代數學大師們理性思維的光芒，我們力圖在教材中向學生展現這些理性思維的光芒，以激發學生理性思維的潛能.同時注重理性思維訓練，使學生在微積分的學習過程中有機會逐步理解、掌握解決數學以及相關科學問題的邏輯思維方法.

實踐過程從微積分的發展歷史可以發現，從阿基米德、劉徽的樸素微積分思想，到牛頓和萊布尼茨的微積分基本定理，再到“實數系—極限論—微積分”體系的建立，正好是一門學科從萌芽到初步建立再到完善的過程.任何一門科學的產生都沿襲這個過程.微積分是學生第一次完整地經歷這一過程，而這種經歷對每個學生來說也是難得的.微積分的學習就是一次實踐過程，讓學生體會、學習如何建立一門科學，在創建的過程中會遇到什麼問題，如何去解決那些乍一看似乎解決不了的問題(例如“柯西極限存在準則”成功解決了數列或函式極限不存在的問題，而這個問題用極限的定義是無法解決的； 實數理論解決了實數在實數軸上的完備性問題).儘管微積分是一門已經成熟的課程，我們幾乎不可能有創新的機會，但是通過建立微積分理論體系的實踐，可以培養學生創新的能力.一旦有機會，他們會在各自的工作中提出自己的理論，並會完善自己的理論.就像兒時的搭積木對培養建築師的重要性一樣.

隨著計算機和軟體技術的日益發展，微積分中的一些計算工作，例如求導數、求積分等的重要性日漸減弱，而微積分的語言功能和實踐過程卻越來越重要.對於非數學專業的理工科學生來說，原來的微積分教材太注重微積分的工具功能，而數學專業的數學分析教材又太注重細節，學時太長，因此我們編寫了現在的教材.

在本教材中，我們在不影響總學時的情況下,適當加強了極限理論的內容和訓練,使學生為進一步學好微積分理論打下堅實的基礎.同時,將確界原理作為平台(基本假設)，給出了關於實數完備性的幾個基本定理,使之滿足微積分體系的需要.而對於初學學生不容易理解和掌握的內容,如有限覆蓋定理等,則不作過多的論述與要求，從而避免冗長的論證和過於學究化的深究.我們比較詳細地介紹了積分理論，證明了一元函式可積的等價定理以及二重積分的可積性定理，得到了只要函式 “比較好”(函式的間斷點為零長度集(一元函式定積分)或零面積集(二元函式的二重積分))，積分區域邊界也“比較好”(積分區域邊界為零面積集(二元函式的二重積分))，一元函式定積分(二元函式的二重積分)一定存在.至於三重積分和曲線、曲面積分，我們採取了簡化的方法，沒有探究細節.

我們將常微分方程的內容放到上冊，以便於其他學科(比如物理學)的學習.而級數則放到本書的最後.作為函式項級數的套用，我們在本書的最後證明了常微分方程初值問題解的存在唯一性定理.

微積分教材的理性與直觀的關係一直是比較難處理的問題.過多地強調理性，可能會失去微積分本來的意圖； 而過多地強調直觀，又會使這么優秀的大學生失去了一次難得的理性思維訓練，這種訓練是高層次人才所必須經歷的，而且我們的學生也非常願意接受這種訓練. 與國外的微積分教材比較強調直觀相比，我們兼顧了數學的理性思維訓練.與國內的微積分教材相比，我們結合了學生的實際情況(學習能力強，學習熱情高)，適當地加強了教材與習題的難度，並考慮到理工科學生的背景，加強了套用.

本教材作為講義已經在清華大學的很多院系使用過數次.上冊與下冊的基本內容分別使用75學時講授,各輔以20~25學時的習題課.

本書是根據編者在清華大學微積分課程的講義整理而成的.上冊主要由劉智新編寫,下冊主要由章紀民編寫,教材中的習題主要由北京郵電大學閆浩編寫.在編寫的過程中，得到了“清華大學‘985工程’三期人才培養項目”的資助和清華大學數學科學系領導的關心與幫助.編者的同事蘇寧、姚家燕、郭玉霞、扈志明、楊利軍、崔建蓮、梁恆等老師在本書的編寫過程中也給予了很多幫助和關心,藉此機會,向他們一一致謝.

三、 關於微積分的學習

我們的學生經過國小、中學的數學學習，已經有一定的數學基礎和技能，但是面對微積分這門嚴謹和理性的課程，多少都會有一些不適應.對學生而言，毅力和堅持是唯一的途徑.對教師而言，耐心和細緻也是必要的前提.任何教材都只是知識的載體，缺少了學生的毅力和教師的耐心，學好微積分是不可能的.

祝同學們學習進步！

編者

2014年7月於清華園

圖書目錄

第1章實數系與實數列的極限

1.1實數系

習題 1.1

1.2數列極限的基本概念

習題1.2

1.3收斂數列的性質

習題1.3

1.4單調數列

習題1.4

1.5關於實數系的幾個基本定理

習題1.5

第1章總複習題

第2章函式函式的極限與連續

2.1函式

2.1.1函式的概念

2.1.2函式的運算

2.1.3初等函式

2.1.4幾個常用的函式類

習題2.1

2.2函式極限的概念

2.2.1函式在一點的極限

2.2.2函式在無窮遠點的極限

習題2.2

2.3函式極限的性質

習題2.3

2.4無窮小量與無窮大量

習題2.4

2.5函式的連續與間斷

習題2.5

2.6閉區間上連續函式的性質

習題2.6

第2章總複習題

第3章函式的導數

3.1導數與微分的概念

3.1.1導數

3.1.2微分

習題3.1

3.2求導法則

3.2.1導數的運算法則

3.2.2隱函式求導

3.2.3由參數方程所確定的函式求導法

習題3.2

3.3高階導數

習題3.3

第3章總複習題

第4章導數套用

4.1微分中值定理

習題4.1

4.2洛必達法則

習題4.2

4.3泰勒公式

4.3.1函式在一點處的泰勒公式

4.3.2泰勒公式的套用

習題4.3

4.4函式的增減性與極值問題

4.4.1函式的增減性

4.4.2函式的極值

4.4.3最大值與最小值

習題4.4

4.5凸函式

習題4.5

4.6函式作圖

4.6.1漸近線

4.6.2函式作圖

習題4.6

第4章總複習題

第5章黎曼積分

5.1黎曼積分的概念

5.1.1積分概念的引入

5.1.2積分存在的條件

5.1.3函式的一致連續性

5.1.4可積函式類

習題5.1

5.2黎曼積分的性質

習題5.2

5.3微積分基本定理

習題5.3

5.4不定積分的概念與積分法

5.4.1不定積分的概念與基本性質

5.4.2換元積分法

5.4.3分部積分法

習題5.4

5.5有理函式與三角有理函式的不定積分

5.5.1有理函式的不定積分

5.5.2三角有理式的不定積分

5.5.3一些簡單無理式的不定積分

習題5.5

5.6定積分的計算

習題5.6

5.7積分的套用

5.7.1平面區域的面積

5.7.2曲線的弧長問題

5.7.3平面曲線的曲率

5.7.4旋轉體體積

5.7.5旋轉曲面的面積

5.7.6積分在物理中的套用

習題5.7

第5章總複習題

第6章廣義黎曼積分

6.1廣義黎曼積分的概念

6.1.1無窮限積分

6.1.2瑕積分

習題6.1

6.2廣義積分收斂性的判定

6.2.1無窮限廣義積分收斂性的判定

6.2.2瑕積分收斂性的判定

習題6.2

第6章總複習題

第7章常微分方程

7.1常微分方程的基本概念

7.1.1引言

7.1.2常微分方程的基本概念

習題7.1

7.2一階常微分方程的初等解法

7.2.1變數分離型常微分方程

7.2.2可化為變數分離型的常微分方程

7.2.3一階線性常微分方程

習題7.2

7.3可降階的高階常微分方程

7.3.1不顯含未知量y的方程

7.3.2不顯含自變數x的方程

習題7.3

7.4高階線性常微分方程解的結構

7.4.1高階線性常微分方程

7.4.2二階線性常微分方程求特解的常數變易法

習題7.4

7.5常係數高階線性常微分方程

7.5.1常係數齊次線性方程

7.5.2常係數非齊次線性方程

7.5.3歐拉方程

習題7.5

7.6一階線性常微分方程組

7.6.1一階線性常微分方程組解的結構

7.6.2常係數一階齊次線性常微分方程組的解法

習題7.6

第7章總複習題

部分習題答案

索引