順序統計量

順序統計量，別稱是變數序列，亦稱變列分布函式。數理統計中的一種常用統計量。將樣本觀測值由小到大排列得到的統計量。

基本介紹

• 中文名：順序統計量
• 外文名：order statistic
• 別稱：變數序列、變列分布函式
• 所屬領域：數理統計
• 特點：將樣本觀測值由小到大排列

定義

設 為總體 的樣本，記 為將 從小到大排列的第 個值，即對於任意基本事件 , 為將 從小到大排列的第 個值( )．稱 為順序統計量。

對於順序統計量 ，顯然有

順序統計量計算簡便，在某些方面有著廣泛的套用。但是，順序統計量 一般不相互獨立，也不同分布。

稱為最小順序統計量， 稱為最大順序統計量， 稱為極差。極差在實際中用來衡量方差的大小，反映了隨機變數 取值的分散程度。

為樣本中位數，樣本中位數反映了隨機變數 在實軸上分布的位置特徵。

分布函式與分布密度

下面主要對總體 為連續型的情形進行討論，此時，可認為有(其它情形出現的機率為0)

定義經驗頻數 為對總體 作n次重複獨立觀測時隨機事件 出現的次數，對於任意給定的實數 是一個統計量，且當 的分布函式為F(x)時，有

即

對總體 作n次重複獨立觀測，也就是從總體 中抽取容量為n的樣本( )。

由 的定義，不難得到 與順序統計量 有如下的關係：

{{ }出現 次}={ }，其中

{{ }出現次數 }= ，其中 。

下面利用 的分布來求順序統計量 的分布。

定理1

設總體 的分布函式為F，而( )為總體 的容量為n的樣本，那么，

(1) 第k個順序統計量 的分布函式為

其中 。

(2) 若 為連續型，有分布密度p，則 的分布密度為

其中。

推論1

在定理1的假定下，最小、最大順序統計量的分布函式與分布密度分別為

的分布統稱為極值分布．可藉助推出，也可直接由分布函式及定義出發推出。

定理2

設總體的分布函式為F，而()為總體的容量為n的樣本，則的聯合分布函式為

又若為連續型，密度為p，且的二階偏導數在點的某鄰域連續，則的聯合分布密度為