順序統計量估計

順序統計量估計是指用順序統計量或其函式構造的估計。如，用極差估計標準差；用最小和最大觀測值估計均勻分布區間的兩個端點等。

基本介紹

• 中文名：順序統計量估計
• 外文名：ordered statistics estimation
• 所屬學科：數學（統計學）
• 簡介：用順序統計量或其函式構造的估計
• 舉例：用極差估計標準差
• 使用方法舉例：極差標準差

基本介紹

順序統計量設是總體X的樣本，將它們自小到大排成，則這個排列稱為樣本順序統計量。抽取一個樣本，便有一組自小到大的觀察值與之相對應，其中是觀察值中最小者，是觀察值中最大者。例如，樣本值為3.15，2.98，3.16，3.05，2.90，則其順序統計量為2.90，2.98，3.05，3.15，3.16。

順序統計量估計法 順序統計量估計法是直觀簡便的估計法，常常是對總體的數學期望與標準差進行。

設為總體X的樣本順序統計量，則稱

為樣本中位數。

樣本中位數的觀察值的取值規則是：將樣本觀察值自小到大排成順序統計量觀察值，當n為奇數(即n=2k+1)時，取居中的數據；當n為偶數(n=2k)時，取居中兩個數據的平均值，即

從中位數的含義可見，它帶來了總體X取值的平均數信息，因此，用於估計總體X的數學期望是合適的。用樣本中位數估計總體X的數學期望的方法，稱數學期望E(X)的順序統計量估計法。其結果也有估計量與估計值之分。

例題解析

為了估計某批燈泡的平均壽命[即壽命X的數學期望E(X)]，隨機抽取7個燈泡測得壽命數據為(單位：h)：1 575，1 503，1 346，1 630，1 575，1 453，1 650。

試用順序統計量估計法估計。

解： 因為樣本順序統計量觀察值為：1 346，1 453，1503，1575，1 575，1 630，1 650，n=7為奇數，所以由式(5)得的順序統計量估計值為

若用矩估計法，則得

兩種估計法所得結果稍有差異。

用樣本中位數估計總體X的數學期望的優點是：

(1)計算簡便。這一優點可直接從中位數的取值規定看出。

(2)所得估計值不易受個別異常數據影響。例如，在壽命試驗的樣本值中，發現某一個數據異常小(比如說，在上例所得樣本觀察值中，由於工作人員粗心，將1346誤記成134)，在作統計推斷時，一定會提出疑問：這個異常小的數據是總體X的隨機性造成的，還是受外來干擾造成的呢?當原因屬於後者(如記錄錯誤)，那么用樣本平均值估計E(X)時顯然受到影響(使估計值偏低)。但用樣本中位數估計E(X)時，由於一個(甚至幾個)異常小(或異常大)的數據不易改變中位數的取值，這種特點常說成具有穩健性。讀者一定見過：當有n位評審對某人藝術表演評分，裁判計算表演者得分時，總是先去掉一個最高分，去掉一個最低分，然後取n-2個保留分的平均值，這實際上是綜合運用順序統計量法與矩估計法的結果，如果評審只有三位或四位，則上述評分方法就是順序統計量法，也稱中位數法。

(3)簡化試驗過程。在壽命試驗中，個別樣品壽命很長，這是常有的現象(如上例)中，若有一個燈泡壽命為1 950 h，比平均壽命1 575 h長很多)。等待n個壽命試驗全部結束，然後對平均壽命作估計，時間花得太多。如果確定用順序統計量法估計總體的數學期望，那么，將n個試驗同時進行，只要有超過半數的試驗得到了壽命數據，無論其餘試驗結果如何，都可得到樣本中位數的取值。例如，在上例中，7個壽命試驗同時進行，只要完成4個試驗，並得=1 575(h)，便得到了總體平均壽命的順序統計量估計值為1 575(h)。如果沒有其它需要，壽命試驗即可結束。

順序統計量也可用於對總體X的標準差作估計。

用順序統計量估計參數

樣本中位數和樣本極差都是順序統計量的函式，這類函式計算簡便，且樣本中位數不受樣本中異常值的影響．無論x服從何種分布，都可以樣本中位數殳作為總體均值E(x)的估計量，以樣本極差作為總體標準差的估計量，不過這種
估計一般來說比較粗糙，對於正態總體，樣本中位數的漸近分布由下面的定理給出。