頂點代數

頂點代數（vertex algebra）又稱頂點運算元代數（vertex operator algebra），是共形場論（保角場論）之代數結構。其套用包括怪獸月光理論（Monstrous moonshine）與幾何化朗蘭茲綱領。

基本介紹

• 中文名：頂點代數
• 外文名：vertex algebra
• 領域：數學

簡介

頂點代數（vertex algebra）又稱頂點運算元代數（vertex operator algebra），是共形場論（保角場論）之代數結構。其套用包括怪獸月光理論（Monstrous moonshine）與幾何化朗蘭茲綱領。

1986 年，Richard Borcherds 受二維共形場論中用以插入場之頂點運算元啟發，提出頂點運算元代數結構。 重要例子有：

• 晶格頂點運算元代數（用以研究晶格共形場論），
  
• 來自仿射Kac-Moody 代數之表示之頂點運算元代數 （用以研究Wess-Zumino-Witten 模型），
  
• 來自仿射Virasoro 代數之表示之Virasoro 頂點運算元代數 （可用以研究極小模型），
  
• I.Frenkel-J.Lepowsky-A/Meurman（於1988年）構造 之月光模（Moonshine module）V。
  

定義頂點運算元代數之各公理抽象自物理學人所謂之手征代數（Chiral algebra），其嚴格數學定義由 Beilinson 與 Drinfeld 提出。

定義

一頂點代數由以下資料組成：向量空間V,“單位元”1V，自態射T，乘法性映射： 或寫作 ；並滿足以下條件：：

1.(單位)V中每一元a，均符合

2.(位移)T(1) = 0， 且V中每元a，b， 均符合

3.(四頂點函式)V中每元a，b，c， 均符合

其中Y(a，z)Y(b，w)c，Y(b，w)Y(a，z)c， 與Y(Y(a，z-w)b，w)c分別為X(a，b，c;z，w)在V((z))((w))，V((w))((z))， 與V((w))((z-w))中之級數展開式。

此乘法映射常被寫作“狀態—場 對應”（state-field correspondence）：

給V中每一向量配上一支以運算元為值之形式分布（formal distribution），稱作“頂點運算元”；其物理意義為在原點插入一運算元。T則是無窮小位移之一生成元。 “四頂點函式”公理統一了（誤差不過奇異值之）結合律與交換律。 位移公理涵蘊Ta = a_-21， 故Y的值決定了T的值。

分階頂點代數

一Z₊-分階頂點代數為一頂點代數V的分階：

使每a∈ V_k與b∈ V_m， 符合a_nb∈ V_k+m-n-1。

設有一Z₊-分階頂點代數。 其一 Virasoro 元 為V中₂一元 ω ， 使頂點運算元

符合以下條件：V_n中每一元a符合：

其中c為一常值，稱“中心荷”（central charge）， 或“V之秩”。 此亦使V成為Virasoro 代數的一表示。