《非線性問題的格子Boltzmann方法的數值研究》是依託中國科學技術大學，由段雅麗擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：非線性問題的格子Boltzmann方法的數值研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：段雅麗
- 依託單位：中國科學技術大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本項目以數學物理中出現的非線性問題為研究對象，針對幾類具有典型物理意義的方程，如Burger's-Huxley方程、Klein-Gordon-Schr?dinger方程組及一些非線性波動方程和非線性複方程等，設計相應的格子Boltzmann算法，並給出理論分析。我們將基於BGK格子Boltzmann方程,針對巨觀微分方程的特點，分類研究建立相應的離散速度模型及選用恰當的時間和空間尺度，進行多尺度分析，建立微觀演化方程與巨觀方程的聯繫。設計和研究中結合或者借鑑傳統的數值計算方法及其思想，發展更高效的LBM模型。用算例和理論分析來證明格子Boltzmann方法在求解非線性問題中的穩定性及優越性，並就問題的數學和物理性質作進一步探討。相關的研究內容和所取得的成果，不僅對偏微分方程數值解的發展具有推動作用，而且將對許多數學分支及交叉學科發展都有重要影響和促進作用，具有十分重要的理論和現實意義。
結題摘要
本項目以數學物理中出現的非線性問題為研究對象，針對幾類具有典型物理意義的方程，設計相應的格子Boltzmann算法，並給出數值分析。通過研究，我們得到以下成果： 1.針對廣義Burgers–Huxley方程提出相應的格子Boltzmann格式。數值結果從精度上優於已有的數值方法 。而且該格式可套用於廣義Burgers–Fisher方程，並推廣到高維問題。 2.針對耦合的Burgers方程組提出Boltzmann 模型。通過對源項(uv)_x進行中心離散及運用 Chapman-Enskog展開得到相應的格子Boltzmann 格式。數值結果優於其它數值結果。 3.針對複合的 Burgers-Korteweg-de Vries (cBKdV) 方程提出Boltzmann 模型。通過恰當地處理色散項 u_xxx ，得到格子Boltzmann 格式。數值結果與解析解很好地吻合，與其它數值方法比較，結果上更好，充分展示了該格式的高效。 這兩項成果都已投稿，待發表。 4．針對多維薛丁格方程提出一類高階緊緻ADI格式。分析了數值方法的離散守恆律，證明了該多辛積分能長時穩定地模擬多辛哈密爾頓系統，甚至比其它能量守恆格式更精確。 5.針對 Klein-Gordon-Schrödinger 方程提出一種多辛Fourier 擬譜格式, 該格式保持離散多辛格式的守恆律，空間上譜精確，時間上二階精度。數值實驗結果展現了多辛格式的數值優勢，並驗證了理論分析的正確性。 這些成果為我們的格子Boltzmann數值研究此類方程提供了一定的參考和借鑑。
