《間斷位勢薛丁格方程的高效高精度計算方法》是依託清華大學，由吳昊擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：間斷位勢薛丁格方程的高效高精度計算方法
- 依託單位：清華大學
- 項目負責人：吳昊
- 項目類別：青年科學基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
薛丁格方程是描述物理系統中量子效應的基礎模型，它廣泛套用於納米半導體、量子輸運理論、非線性光學和凝聚態物理等領域。在方程演化過程中，間斷位勢（如量子壘、量子點、PN結）將導致波函式解產生特殊的量子效應，如量子散射現象和共軛隧穿效應等。由於波長遠小於材料尺度，現有的直接算法會隨著空間維數的增加變得極其昂貴；如果忽略特殊的量子效應，計算精度將會受到很大的影響。本項目旨在為間斷位勢薛丁格方程的計算提供高效高精度的數值方法。項目擬解決的關鍵性科學問題有兩個：一是如何將間斷位勢產生的量子效應設計到數值算法中去，從而提高計算精度；二是如何對計算區域具有複雜幾何結構的高維薛丁格方程實現降維處理，從而降低計算代價。項目目標的實現，將會極大的推動對薛丁格方程的數值模擬和套用研究。
結題摘要
在該項目的支持下，申請人對偏微分方程數值解中的若干問題進行了大量的科學探索，包括計算高頻波、雙曲鬆弛系統數值方法和反問題中的快速算法。儘管涉及到了多個領域，但研究目標和研究手段均具有一致性，即利用漸近分析等數學工具，構造對現有問題的快速計算方法，提高對於實際問題的計算精度和計算效率。計算高頻波是該項目預設的研究內容，目前發表SCI研究論文2篇：（1）在半經典區域中求解Dirac方程（相對論量子力學模型）的高斯光束方法；（2）固定能量聲波方程的高斯光束方法。另有1篇論文在研：求解彈性波方程的歐式高斯光束方法。申請人從2012年起，在雙曲鬆弛系統領域做了一些研究工作，特別是針對格子Boltzmann方法的數值分析。該領域和計算高頻波領域的相似之處在於，兩者均針對雙曲系統，利用的漸近分析工具均為Strang展開。申請人希望將在計算高頻波領域積累的經驗套用到該領域。目前已完成研究論文2篇：（1）格子Boltzmann方法的初值研究；（2）多鬆弛時間的格子Boltzmann方法研究。另有1篇論文在研：格子Boltzmann方法的邊值研究。申請人從2011年起，開始關注計算地球物理的相關問題和研究進展。由於地震波波長遠遠小於地震波傳播的區域，這類問題可以看作高頻波問題。另一方面，該領域的關鍵性問題在於求解反問題，即根據記錄到的地震波信號反演出地下介質的信息（如局部波速）。申請人原先期望將高斯光束方法等漸近計算方法套用到計算地球物理的正演計算中去，從而提高反演的計算效率。在研究過程中，申請人發現了很多有趣的現象，例如信號的發出和接收過程具有局部性和相似性。目前，申請人正在緊張的進行研究，努力嘗試將上述特性轉換成數值計算的優勢，進而發展出計算效率極高的結果，從而極大的推進該領域的研究。
