非全局Lipschitz條件下的隨機微分方程數值強收斂性研究

《非全局Lipschitz條件下的隨機微分方程數值強收斂性研究》是依託中南大學，由王小捷擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：非全局Lipschitz條件下的隨機微分方程數值強收斂性研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：王小捷
• 依託單位：中南大學

項目摘要

隨機微分方程數值方法的經典收斂性理論要求方程的漂移項係數和擴散項係數均滿足全局Lipschitz條件。然而，在金融、化學、生態學等科學與工程領域中，許多重要的隨機微分方程模型並不滿足這個苛刻的條件，經典收斂性理論已不再適用。在一定的非全局Lipschitz條件下，本項目擬研究幾類隨機微分方程的數值方法強收斂性：針對一類滿足耦合條件的隨機常微分方程，構造高效的馴服數值方法並研究其強收斂性；針對一類帶跳的金融數學模型，提出保非負性的實用數值算法並研究其強收斂性；針對一類拋物型隨機偏微分方程，在適當的非全局Lipschitz條件下研究線性隱式Euler方法的強收斂性，並在此基礎上提出強收斂的數值算法。本項目旨在為漂移項係數和擴散項係數不全滿足全局Lipschitz條件的隨機微分方程提供強收斂的數值算法並建立其強收斂性理論，為構造實用、高效的數值算法提供指針，具有重要的理論意義和廣泛的套用前景。

結題摘要

本項目旨在研究非全局Lipschitz條件下的隨機微分方程數值方法的強收斂性。首先，針對一大類帶非全局Lipschitz條件係數的隨機常微分方程構造了一個具有指數可積性的數值算法並證明了其強收斂性。其次，針對一類帶跳的隨機利率模型構造了一個保正新算法，並證明了其強收斂階為1。最後，項目組在隨機偏微分方程(SPDE)的數值分析課題上，取得了若干重要成果。針對一類半線性隨機波方程，項目負責人等構造了兩個加速的指數Euler譜方法。與現有的強逼近數值方法相比，新提出的兩個數值算法在時間上具有更高的收斂階，打破了求解隨機波方程數值算法的收斂階障礙；針對乘性噪聲驅動的非線性隨機波方程，項目負責人等人研究了有限元隨機三角方法全離散格式的強收斂率和數值格式對原系統跡公式的逼近誤差估計；針對半線性拋物型SPDE和隨機隨機波方程，項目負責人等系統深入地研究了指數時間半離散方法的強收斂和弱收斂誤差。特別地，在現有文獻中，Malliavin微積分等複雜的分析技巧是非線性拋物型SPDE數值方法弱收斂性研究最常規的手段。而項目負責人對指數Euler方法提供了另一條研究思路，避免了Malliavin微積分工具。這些研究成果都發表在享有較高國際學術聲譽的計算數學或動力系統領域主流刊物，進一步豐富了隨機微分方程數值分析理論，為構造實用、高效的數值算法提供參考，具有重要的理論意義和廣泛的套用前景。