求解隨機延遲微分方程的多步方法

《求解隨機延遲微分方程的多步方法》是依託東南大學，由曹婉容擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：求解隨機延遲微分方程的多步方法
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：曹婉容
• 依託單位：東南大學

中文摘要

隨機延遲微分方程是生物學、金融、隨機控制等研究領域中的重要數學模型。由於在系統中考慮了噪聲和滯後的影響，隨機延遲微分方程往往能夠更加精確地刻畫事物的運動變化規律。絕大多數的隨機延遲微分方程都無法求得顯式解析解表達式，因此發展適用的數值方法和對數值方法進行理論分析近幾年來已經成為國內外計算數學工作者們研究的熱點問題之一。.本課題擬對求解隨機延遲微分方程的多步方法進行系統地研究。對於具有一般形式的一階隨機延遲微分方程構造多步求解公式，套用條件期望的性質、Doob不等式、能量分析方法等分析多步求解公式的收斂性並確定強收斂階；在此基礎上，對於線性隨機延遲微分方程和半線性隨機延遲微分方程討論多步方法的均方穩定性和隨機漸近穩定性，確定數值穩定條件；建立求解中立型隨機延遲微分方程和二階隨機延遲微分方程的多步方法並討論其收斂性。.本課題的目的是對於幾類隨機延遲微分方程發展多步求解方法並完善方法的理論分析。

結題摘要

隨機延遲微分方程作為重要的數學模型在金融、生物、隨機控制等領域具有廣泛套用。本課題致力於建立求解隨機延遲微分方程的數值方法，特別是多步方法和分步方法，並分析數值方法的收斂性和穩定性。首先，對於求解一般隨機延遲微分方程的兩步Maruyama方法，提出了一組關於參數的條件，證明了滿足此條件的一族多步方法能夠無條件地保持方程解析解的指數均方穩定性，即只要延遲項是步長的整數倍，數值解就是指數均方穩定的。我們套用所提出的方法求解了線性隨機延遲微分方程、非線性隨機延遲微分方程及非線性隨機延遲微分方程組，並與其它幾種已有的兩步方法進行比較，從數值試驗的角度驗證了我們所提出的方法具有更好的數值穩定性。對於帶有時滯及可附加噪聲項的Burgers方程，套用傅立葉矩陣進行空間導數離散以後，套用我們所提出的方法進行時間方向的數值求解，取得了理想的數值結果。其次，我們提出了求解隨機延遲微分方程的分步 -方法，對於一般的隨機延遲微分方程證明了方法的強收斂階為1/2，並討論了方法指數均方漸近穩定的條件，給出了保持解析解指數均方穩定時參數 和步長h應滿足的條件及相互關係。證明了當參數增大時，對步長的限制條件減弱直至消失，並給出了參數和步長的具體取值範圍。對於一類特定的線性可乘噪聲延遲微分方程，我們還提出了更優的穩定條件。通過線性及非線性的數值算例，驗證了方法的收斂階及指數均方漸近穩定性。對於非線性中立型隨機延遲微分方程，我們證明了分步向後Euler方法的強收斂階是1/2，並證明了方法是指數均方漸近穩定的。通過數值算例進一步驗證了對於任意的步長，數值解都能保持原方程解析解的均方漸近穩定性。同時，對於此類方程，我們也討論了兩步Maruyama方法的收斂性和均方漸近穩定性，給出了參數應滿足的條件。另外，我們對於半隱式Euler方法的T-穩定性進行了分析，提出了保持方法T-穩定時參數及步長應滿足的條件。我們還提出了求解隨機延遲微分方程的波形鬆弛法，在Lipschitz條件下證明該方法在均方意義下收斂，而對於特定的分裂函式，該方法超線性收斂。