《剛性隨機微分方程的數值分析》是依託中南大學，由甘四清擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：剛性隨機微分方程的數值分析
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：甘四清
- 依託單位：中南大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
對伊藤（Ito）型剛性隨機微分方程（SDE）初值問題做如下方面的數值分析研究：數值方法的穩定性和收斂性，數值方法如何逼真再現隨機變數的主要數字特徵；構造能有效求解漂移和擴散部分均含剛性的SDE的全隱式方法；隱式方法的高效實現，變步長方案及自適應算法；最佳化隱式方法族中的參數以獲得最佳穩定域。將上述所獲得的部分結果套用於某些隨機偏微分方程。本項目旨在為剛性隨機微分方程數值算法建立相關理論基礎，為構造實用、高效的算法提供指針，為剛性隨機微分方程數值求解及大規模數字實時仿真服務。本項目將豐富隨機微分方程數值分析的內涵，套用於物理、生物、化學和自動控制等領域，具有重要的理論意義和廣泛的套用前景。
結題摘要
本項目主要研究隨機微分方程數值算法理論，所研究的問題類包括剛性隨機微分方程、隨機泛函微分方程和隨機偏微分方程等。提出了適合求解剛性隨機微分方程的全隱數值格式，它是目前僅有的幾個高階全隱格式之一。提出了兩類顯式方法，其穩定域遠大於對應的傳統方法，是適合求解剛性問題的高效算法。系統研究了平衡隱式方法在求解隨機比例方程、帶跳的隨機微分方程時的表現，平衡隱式方法是適於求解剛性隨機微分方程的全隱格式之一。對非線性隨機延遲微分方程，研究系統本身及數值方法的均方穩定性、均方收縮性及均方漸近收縮性，將隨機微分方程、隨機延遲微分方程（含常延遲和變延遲，變延遲又包括 有界和無界變延遲）放在一個統一的理論框架下開展研究。研究了隨機變延遲微分方程數值方法的收斂性和穩定性，不僅獲得了變延遲情形下系統本身和數值解的理論分析結果，而且改進了常延遲情形下文獻中已有的結論。對帶跳的隨機(延遲)微分方程，鑒於補償Poisson過程的鞅性，相應地研究補償隨機θ方法，證明補償隨機θ方法的穩定性優於隨機θ方法。 對拋物型隨機偏微分方程和隨機波方程，在可加噪聲、可乘噪聲、跡類噪聲和時空白噪聲情形下，著重研究如何構造時間方向的離散格式，分析時間方向的強收斂性和弱收斂性，研究結果表明收斂階與噪聲的類型和正則性密切相關，跡類噪聲情形下可獲得更高的收斂階，隨機積分離散時不用傳統的噪聲增量而引入噪聲泛函，從而獲得指數積分子，加速指數Euler方法達到了最優收斂階，從而突破了現有數值算法的收斂階障礙。為避免Milstein方法中所需的導數計算，還研究了Runge-Kutta型高階格式。本項目還研究了隨機延遲微分方程數值方法的延遲依賴穩定性、非全局Lipschitz條件下隨機微分方程馴服Milstein方法的收斂性及一些金融數學模型的數值格式。 與確定性微分方程相比較，隨機微分方程能更加逼真地模擬現實世界的諸多現象，深入開展隨機微分方程數值方法的理論研究及探索高效求解隨機微分方程的數值格式具有重要 的理論意義和廣泛的套用前景。
