雙曲螺線

雙曲螺線(hyperbolic spiral)是指極徑和極角成反比例的動點軌跡。雙曲螺線的極坐標方程是ρ=a/θ，雙曲螺線ρ=a/θ以直線y=a為漸近線，曲線有兩支，它們關於Y軸對稱。

基本介紹

• 中文名：雙曲螺線
• 外文名：Hyperbolic spiral
• 別名：倒數螺線，反螺線
• 簡介：極徑和極角成反比例的動點軌跡
• 所屬學科：數學（平面幾何）

雙曲螺線的定義

在極坐標系中，極徑和極角成反比例的點的軌跡叫作雙曲螺線(倒數螺線)。

雙曲螺線的方程

由雙曲螺線的定義可知，雙曲螺線的極坐標方程為

(的常數).

以極點為原點，以極軸為橫軸的正半軸建立直角坐標系，由於，又由，這就得到直角坐標系中雙曲螺線的參數方程

(為參數).

雙曲螺線的基本性質

雙曲螺線的基本性質：

(1)對稱性 用代替方程中的，方程不變，所以雙曲螺線關於極垂線對稱。容易驗證，它關於極軸、極點都不對稱。

(2)周期性 不存在。

(3)存在範圍 因的值可以無窮大，所以曲線無限延伸。

(4)漸近點與漸近線 當的絕對值由小趨向無窮大時，則的絕對值就逐漸減小而逐向於0，這就是說，雙曲螺線繞極點無限旋轉，雙曲螺線上的點與極點的距離趨近於0(這裡達不到0)，所以極點是雙曲螺線的漸近點。如果的絕對值趨向於零，則的絕對就趨向無窮大，因此雙曲螺線向無窮遠延伸。另外

(因).

這就是說，雙曲螺線上的點沿螺線向右或向左無窮遠離時，螺線上的點就無限地接近於直線，所以是雙曲螺線的一條漸近線。

雙曲螺線的圖形

雙曲螺線的圖形：

(1)當時，用描點法先描出它的的部分，的部分可由它的對稱性描出(圖1)。

圖1

(2)當常數時，這時的雙曲螺線也叫作反雙曲螺線。反雙曲螺線與雙曲螺線關於極點對稱。這是因為，若M是上的任意一點，則M至少有一組坐標滿足這雙曲螺線的方程，即，由此就得

這個等式說明是雙曲螺線上的一點，而和關於極點對稱。這就證明了上的每個點關於極點的對稱點必在上，反過來也成立，所以與關於極點對稱，與是全等的，只是它們在平面上與極軸的相關位置不同(圖2)。

圖2