在極坐標系中,平面上任何一點到極點的連線和極軸的夾角叫做極角。
基本介紹
知識詳解,極坐標和直角坐標的互化,例題解析,
知識詳解
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特別地,當點M在極點時,它的坐標是
,
可以取任意值,當點M在極軸上時,它的坐標是
,
可以取任意正值。
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如圖2所示,在極坐標系中,點
的極坐標分別為
。
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在實際套用時,極徑
和極角
也可以取負值,當
時,點
在
的終邊上取一點,使
,當
時,點
在角
終邊的反向延長線上取一點,使
,如圖3所示,當極軸按順時針方向旋轉時,
.在如圖4所示的極坐標系中,點
的極坐標分別為
。
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由此可見,對於任意給定的一對實數
和
,在平面上就有唯一確定的點
與之相對應,反過來,平面上任意一點的極坐標卻可以有無數多種表示法,圖4中的點
的極坐標還可以表示為
這裡
相差
的整數倍,因此,平面上的點和它的極坐標
的關係不是一一對應的,為了使點M(極點除外)的極坐標能唯一確定,一般取
。
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極坐標和直角坐標的互化
極坐標系和直角坐標系是兩種不同的坐標系,同一個點既可以用極坐標表示,也可以用直角坐標表示。把直角坐標系的原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸,並在兩種坐標系中取相同的長度單位,如圖5所示,設M是平面內任意一點,它的直角坐標是
極坐標是
,顯然有
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利用上式,可以把點M的極坐標化為直角坐標。
由上面的公式,又可得
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利用該公式,可以把點M的直角坐標化為極坐標。
例題解析
例1 把點M的極坐標
化為直角坐標。
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解: 由公式
得
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例2 把點M的直角坐標
化為極坐標。
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解:由公式
得
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