極角

在極坐標系中，平面上任何一點到極點的連線和極軸的夾角叫做極角。

基本介紹

• 中文名：極角
• 外文名：polar angle
• 所屬學科：數理科學
• 相關概念：極坐標系、極軸、極點等

知識詳解

在平面上取一定點O，從O引一條水平射線，規定方向自左至右，再選定一個長度單位並規定角旋轉的正方向，通常取逆時針方向，這樣就構成了一個極坐標系，如圖1所示，點O叫作極點，射線叫作極軸。

在極坐標系中，平面上任意一點M的位置，可以由OM的長度和從到OM的角來確定，把叫作點M的極徑，叫作點M的極角，有序實數對叫作點M的極坐標，記作。

圖1

特別地，當點M在極點時，它的坐標是，可以取任意值，當點M在極軸上時，它的坐標是，可以取任意正值。

如圖2所示，在極坐標系中，點的極坐標分別為。

圖2

在實際套用時，極徑和極角也可以取負值，當時，點在的終邊上取一點，使，當時，點在角終邊的反向延長線上取一點，使，如圖3所示，當極軸按順時針方向旋轉時，．在如圖4所示的極坐標系中，點的極坐標分別為。

圖3

圖4

由此可見，對於任意給定的一對實數和，在平面上就有唯一確定的點與之相對應，反過來，平面上任意一點的極坐標卻可以有無數多種表示法，圖4中的點的極坐標還可以表示為這裡相差的整數倍，因此，平面上的點和它的極坐標的關係不是一一對應的，為了使點M(極點除外)的極坐標能唯一確定，一般取。

極坐標和直角坐標的互化

極坐標系和直角坐標系是兩種不同的坐標系，同一個點既可以用極坐標表示，也可以用直角坐標表示。把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，並在兩種坐標系中取相同的長度單位，如圖5所示，設M是平面內任意一點，它的直角坐標是極坐標是，顯然有

利用上式，可以把點M的極坐標化為直角坐標。

由上面的公式，又可得

利用該公式，可以把點M的直角坐標化為極坐標。

例題解析

例1 把點M的極坐標化為直角坐標。

解: 由公式得

於是得點M的直角坐標為。

例2 把點M的直角坐標化為極坐標。

解：由公式得

因為點M在第二象限，所以於是得點M的極坐標為。