雙曲函式恆等式

在數學中,雙曲函式恆等式是對出現的變數的所有值都為實的涉及到雙曲函式的等式。這些恆等式在表達式中有些雙曲函式需要簡化的時候是很有用的。雙曲函式的恆等式有的與三角恆等式類似。就如同三角函式,他有一個重要套用是非雙曲函式的積分:一個常用技巧是首先使用換元積分法,規則與使用三角函式的代換規則類似,則通過雙曲函式恆等式可簡化結果的積分。

基本介紹

  • 中文名:雙曲函式恆等式
  • 外文名:Hyperbolic function identity
  • 分類:數理科學
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基本關係

雙曲函式基本恆等式如下:
就如同三角函式,由上面的平方關係加上雙曲函式的基本定義,可以導出下面的表格,即每個雙曲函式都可以用其他五個表達。

其他函式的基本關係

三角函式還有正矢余矢半正矢、半余矢、外正割等函式,利用他們的定義也可以導出雙曲函式。

和角公式

和差化積公式

積化和差公式

倍角公式

  • 二倍角公式:
  • 三倍角公式:

半形公式

冪簡約公式

雙曲正切半形公式

泰勒展開式

其中
是第n項伯努利數
是第n項歐拉數

三角函式與雙曲函式的恆等式

利用三角恆等式的指數定義和雙曲函式的指數定義即可求出下列恆等式:
所以

參見

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