《關於指數和及特徵和的高次均值問題》是依託西北大學，由張文鵬擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：關於指數和及特徵和的高次均值問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：張文鵬
- 依託單位：西北大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
關於指數和及特徵和的高次均值是解析數論中十分重要而又困難的研究課題,這一內容與數論中許多著名難題密切相關，因而其研究工作具有重要的理論意義及研究價值！然而由於許多數論問題研究的難度非常之大,因此至今所取得的研究進展仍不理想,達不到令人滿意的目的，所以對這些問題及其推廣形式繼續進行深入系統的研究仍是一項很有意義的工作。本項目主要利用解析數論方法以及特徵和與Gauss和的性質研究一些三角和及特徵和的高次均值計算問題，得到這些高次均值的一些精確的計算公式或漸近估計。主要研究內容包括二項指數和及特徵和的六次均值，八次均值甚至2k（k大於4）次均值等。我們將通過Gauss和的性質將特徵及指數和聯繫起來，建立起這些不同和式之間的相互轉換關係，然後再通過特徵的正交性以及Gauss和的計算達到研究三角和及特徵和高次均值的目的！
結題摘要
關於三角和、指數和及特徵和的高次均值問題在解析數論研究中占有十分重要的位置,許多著名的數論難題都與之密切相關，因而其研究工作具有重要的理論意義及研究價值。本項目利用新的解析方法研究一些三角和、指數和以及特徵和的高次均值的計算問題，得到一些新的恆等式或者較強的漸近估計。為了研究關於指數和及特徵和的高次均值，我們首先通過特徵和與Gauss和的性質研究了一些三角和及特徵和的高次均值問題，給出了關於指數和、特徵和、二次Gauss 和、Kloosterman 和、Dedekind 和、的一系列漸近公式與恆等式，得到了一系列有意義的研究成果。具體來說：研究了廣義Kloosterman和的混合均值及二次Gauss和及其2k次冪的均值，並給出了較強的漸近公式；討論了二維Dedekind和與經典Kloosterman和的算術性質，得到了一些較好的漸近公式及恆等式；研究了Dedekind 和與Kloosterman和的混合均值；研究了Lemher問題與Kloosterman和的均值問題，得到了較強的混合均值漸近公式，並得到與特徵和、二次域類數相關的恆等式。這部分研究工作進展順利，圓滿完成了預定的計畫。此外，我們還研究了D. H. Lehmer 問題的一些推廣， Bernoulli 多項式、Euler 多項式、Fibonacci 多項式的各類算術性質，並取得了一些新的成果。
