門限回歸模型

門限回歸模型(Threshold Regressive Model，簡稱TR模型或TRM)是湯家豪於1978年提出了門限自回歸模型後進一步將這一思想擴展到回歸模型中。門限回歸模型的基本思想是通過門限變數的控制作用，當給出預報因子資料後，首先根據門限變數的門限闕值的判別控制作用，以決定不同情況下使用不同的預報方程，從而試圖解釋各種類似於跳躍和突變的現象。其實質上是把預報問題按狀態空間的取值進行分類，用分段的線性回歸模式來描述總體非線性預報問題。

基本介紹

• 中文名：門限回歸模型
• 外文名：Threshold Regressive Model
• 簡稱：TR模型或TRM
• 提出者：湯家豪
• 所屬學科：數學（統計學）

門限回歸模型的基本思想

預報對象y與預報因子集之間的一般門限回歸模型形式為:

式中，稱為門限變數，稱為門限閾值。在各段回歸方程中，入選的因子可以有所不同。

門限回歸模型的基本思想是通過門限變數的控制作用，當給出預報因子資料後，首先根據門限變數的門限闕值的判別控制作用，以決定不同情況下使用不同的預報方程，從而試圖解釋各種類似於跳躍和突變的現象。其實質上是把預報問題按狀態空間的取值進行分類，用分段的線性回歸模式來描述總體非線性預報問題。在直觀上此法可類比於用拆線分段逼近曲線，由於套用了分段線性化的思想，因此可以充分利用線性模式的處理手段。

門限回歸模型的建模方法

如果我們已知門限變數和門限閾值，則根據門限變數值是否高於門限閾值來把樣本資料分為K段，分別對每一段樣本用線性逐步回歸來建模即可。在作預報時，根據門限變數實時資料，首先判斷其屬於哪一段，然後再用該段回歸模式代入預報因子實時資料即可作出預報。這些都是讀者熟知的常規線性統計預報計算分析方法了。由此可見，對門限回歸建模的關鍵是確定門限變數和門限閾值，這就是現在要重點討論的問題。

根據門限回歸模型的思路，當門限變數值高於或低於門閾值時，將有顯著不同的預報關係。因而建模的步驟為：先找出門限變數和門限閾值，然後按此對樣本分組，分段建立線性模式。門限變數的確定有兩種情況，一種是基於對預報問題的物理分析，因果關係推斷，指定某個變數為門限變數，另一種情況是當對預報問題的物理原因不清、完全依靠統計方法時，可採下面的方法。

我們先考慮只有一個門限閾值，即分為兩段回歸時的方法，然後再把它推廣到一般。設有預報對象y和m個預報因子，取n個樣本。從x中任取一個因子，找出樣本中的最大值和最小值，求得的變化區間，在該區間內任給一個門限值記為，對每個樣本，把時所有的x和y樣本分作一組子樣本，時所有的x和y樣本分作另一組子樣本，然後對這兩組樣本分別建

立回歸方程， 於是就建立了一個門限回歸模型。窮盡所有可能的因子， 即取：，對窮盡所有可能的分段，即對門閾值，在內，取盡所有可能的值，於是就可建立所有可能的門限回歸模型，從中挑出效果最好的那一個，就是最優門限回歸模型。

以上討論的門限回歸建模方法，在變數數和樣本數很少時，是易於實現的。但當變數數和樣本數較大時，其計算量就是目前一般微機難以完成的了。如果計算條件能充分滿足，顯然這種窮盡所有可能搜尋的計算方案是可以建立最佳廣]限回歸模型的。但在計算條件不能充分滿足的情況下，如何設計一些計算方案，在基於一定假設條件下，找到一個相對較好的門限回歸模型，就是一個需要認真討論的問題了。下面提供三種假設條件下的建模方案，供讀者在實際工作中參考選用。

1.假設條件:門限變數和門限閾值是造成預報對象顯著差異的主要因子。此時要找到這樣的門限變數和門限閾值，當把預報對象分成兩組時，兩組預報對象間有最顯著的差異，由此建立的門限回歸模型，當預報關係發生改變時，預報對象有顯著差異。此種情況下的計算方法為:

設有y和，取n個樣本，從x中任取一個因子，把它的樣本與y的樣本列為下表:

找出的最大值和最小值，得出的變化區間，在該區間內給定一個門限初值，記為(上標0表示初值，下標i 表示第i個變數，括弧(1)表示只有一個門限)。然後把

上表中凡滿足 (j= 1,2...n)的那些預報對象樣本挑出來，組成一組子樣本，記為，其餘作為另一組子樣本， 記為。用方差分析方法，求得和這兩組子樣本的差異顯著性檢驗值，記為，然後運用一維搜尋來不斷調整門限初值，記為。按此法可不斷對y重新分組計算兩組樣本的差異顯著性檢驗值，記為，於是問題歸結為:對門限值尋優，使達到最大，從而求得以作為門限變數時的最大顯著性指標，記為相應的門限閾值記為。

對至每個因子都如此分析，於是求得每個因子的和，i=1,2,...,m，把它們排列如下：

從中挑出F的最大者，記為，其所對應的第j個因子，就是所求得的門限變數，相應的為門限閾值。 顯然，它滿足對門限變數原理假設：即在所有m個自變數中，可使模型預報關係及y有最大差異的那個變數。

對門限變數及門限閾值的求法，不限於這裡介紹的方差分析方法，還可運用其他方法，如最優分割法等。

找出門限變數x_j和門限閾值後，下一步就是把預報對象和預報因子樣本資料

按門限因子和門限閾值把滿足(k = 1,2..,n)的那些預報對象和預報因子樣本挑出來，組成一組子樣本， 其餘作為另一組子樣本， 然後分別對這兩組子樣本作線性逐步回歸，求得二段門限回歸模式為:(式中，未入選因子的係數)

這一建模方法不難推廣到分為L段的多元門限歸模型，現把建模方法簡述如下:

(1)對因子，找出最大值和最小值，在其變化區間內取L個分點，把y劃分為L組，記為。運用方差分析方法，求得這L組的差異顯著性檢驗值，記為。

(2)對區間中的L個分點，運用非線性參數尋優法，求得L個門限閾值， 記為使F達到最大。

(3)對至每一個因子重複(1)~(2)步，求得，從中找出最大值，記為，其所對應的因子即為門限變數，即為門限閾值。

(4)根據把y和的樣本分成L段，分別對每一段套用線性逐步回歸方法建立分段線性回歸方程，於是得到最終門限回歸模式如下:

2.假設條件：當預報關係發生改變時，門限變數值間有最顯著的差異。在此種情況下要找到這樣的門限變數和門限閾值， 使高於門限閥值和低於門限閾值的門限變數樣本值間有顯著差異，由此建立的門限回歸模型具有當預報關係發生改變時，門限變數值有顯著差異的特性。

此時具體計算方法為:從X中任取一個因子，給定一個門限初值，把的樣本值 (k = 1,...,n)中大於的那些樣本分為一組，其餘的作為另一組，求得兩組數據的方差分析F值，記為然後套用一維搜尋來不斷調整門限初值，記為。

以此不斷重新分組計算兩組樣本的差異顯著性檢驗值記為，對門限值尋優，使達到最大，從而求得以作為門限變數時的最大顯著性指標，記為，相應的門限閾值記為。以下各步驟同第-種假設條件下的計算方法，這裡從略。

3.假設條件：當預報問題為時間序列問題時，即樣本為時間序列樣本組成。此時假設預報對象時間序列由不同周期預報關係疊加組成。於是可把預報對象時間序列樣本進行周期分解。方法如下:

對Y的n年樣本， 設周期為K，於是可排列成K年周期如下：

把每一列作為一組子樣本，共有K組子樣本。對每-組子樣本的均值和方差與其他組進行比較，若存在顯著性差異，即可認為該組變數所對應的年份是由不同周期預報關係造成的，因而可把該組因變數所對應的樣本挑出來單獨建立一個回歸方程。其他樣本建立另一個回歸方程。在實際套用中，可對不同K值進行試驗，以確定顯著性最高的K年周期。

如果預報模型的突變受多個門限變數的控制，則稱為多重門限回歸，下面是兩個門限變數， 每個門限變數一個閾值的形式：

其建模方法步驟不難仿照一個門限變數的分析方法進行推廣。