門格海綿

門格海綿（Menger sponge、Menger universal curve）是分形的一種。它是一個通用曲線，因為它的拓撲維數為一，且任何其它曲線或圖都與門格海綿的某個子集同胚。它有時稱為門格-謝爾賓斯基海綿或謝爾賓斯基海綿。它是康托爾集和謝爾賓斯基地毯在三維空間的推廣。它首先由奧地利數學家卡爾·門格在1926年描述，當時他正在研究拓撲維數的概念。

基本介紹

• 中文名：門格海綿
• 外文名：Menger Sponge
• 分類：分形幾何學

定義

門格海綿是分形的一種。它是一個通用曲線，因為它的拓撲維數為一，且任何其它曲線或圖都與門格海綿的某個子集同胚。它有時稱為門格-謝爾賓斯基海綿或謝爾賓斯基海綿。它是康托爾集和謝爾賓斯基地毯在三維空間的推廣。

結構

門格海綿的結構可以用以下方法形象化：

1. 從一個正方體開始。（第一個圖像）
   
2. 把正方體的每一個面分成9個正方形。這將把正方體分成27個小正方體，像魔方一樣。
   
3. 把每一面的中間的正方體去掉，把最中心的正方體也去掉，留下20個正方體（第二個圖像）。
   
4. 把每一個留下的小正方體都重複第1-3個步驟。
   

把以上的步驟重複無窮多次以後，得到的圖形就是門格海綿。

性質

門格海綿的每一個面都是謝爾賓斯基地毯；同時，門格海綿與原先立體的任何一條對角線的交集都是康托爾集。

門格海綿是一個閉集；由於它也是有界的，根據海涅-博雷爾定理，它是一個緊集。更進一步，門格海綿是不可數集，且具有勒貝格測度0。

門格海綿的拓撲維數是一，與任何曲線一樣。門格在1926年證明了，它是一個通用曲線，就是說任何一維曲線都與門格海綿的一個子集同胚，這裡的曲線是指任何勒貝格覆蓋維數為一的緊度量空間。

門格海綿的豪斯多夫維為(ln 20) / (ln 3)（大約2.726833）。

門格海綿的表面積無窮大。

正式定義

正式地，門格海綿可以定義如下：

其中M₀是單位立方體，且：

且i、j和k中最多只有一個等於1。

參見

• 謝爾賓斯基三角形
  
• 科赫曲線