基本介紹
- 中文名：常態分配曲線
- 外文名：normal distribution curve
- 組成：μ和σ2兩個參數
- 專業：統計學
- 又名：高斯分布曲線、鐘形曲線
- 發現者：棣莫弗
- 套用領域：數學、物理及工程等領域
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由來
常態分配曲線是指滿足常態分配的分布曲線。而常態分配（Normal distribution），也稱“常態分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A.棣莫弗在求二項分布的漸近公式中得到。C.F.高斯在研究測量誤差時從另一個角度導出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質。是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的機率分布，在統計學的許多方面有著重大的影響力。
簡介
常態分配最早由A.棣莫弗在求二項分布的漸近公式中得到。C.F.高斯在研究測量誤差時從另一個角度導出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質。
生產與科學實驗中很多隨機變數的機率分布都可以近似地用常態分配來描述。例如，在生產條件不變的情況下，產品的強力、抗壓強度、口徑、長度等指標；同一種生物體的身長、體重等指標；同一種種子的重量；測量同一物體的誤差；彈著點沿某一方向的偏差；某個地區的年降水量；以及理想氣體分子的速度分量，等等。一般來說，如果一個量是由許多微小的獨立隨機因素影響的結果，那么就可以認為這個量具有常態分配（見中心極限定理）。從理論上看，常態分配具有很多良好的性質，許多機率分布可以用它來近似；還有一些常用的機率分布是由它直接導出的，例如對數常態分配、t分布、F分布等。
定義
常態分配曲線一種機率分布。常態分配是具有兩個參數μ和σ^2的連續型隨機變數的分布，第一參數μ是遵從常態分配的隨機變數的均值，第二個參數σ2是此隨機變數的方差，所以常態分配記作N(μ，σ^2)。遵從常態分配的隨機變數的機率規律為取μ鄰近的值的機率大，而取離μ越遠的值的機率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。常態分配的密度函式的特點是：關於μ對稱，在μ處達到最大值，在正（負）無窮遠處取值為0，在μ±σ處有拐點。它的形狀是中間高兩邊低，圖像是一條位於x軸上方的鐘形曲線。當μ=0，σ^2=1時，稱為標準常態分配，記為N（0，1）。μ維隨機向量具有類似的機率規律時，稱此隨機向量遵從多維常態分配。多元常態分配有很好的性質，例如，多元常態分配的邊緣分布仍為常態分配，它經任何線性變換得到的隨機向量仍為多維常態分配，特別它的線性組合為一元常態分配。
公式
表達式
參數定義
常態分配表達式中有兩個參數，即期望（均數）μ和標準差σ，σ2為方差。
μ是常態分配的位置參數，描述常態分配的集中趨勢位置。機率規律為取與μ鄰近的值的機率大，而取離μ越遠的值的機率越小。常態分配以X=μ為對稱軸，左右完全對稱。常態分配的期望、均數、中位數、眾數相同，均等於μ。
σ描述常態分配資料數據分布的離散程度，σ越大，數據分布越分散，σ越小，數據分布越集中。也稱為是常態分配的形狀參數，σ越大，曲線越扁平，反之，σ越小，曲線越瘦高。
圖形特徵
集中性：正態曲線的高峰位於正中央，即均數所在的位置。
對稱性：正態曲線以均數為中心，左右對稱，曲線兩端永遠不與橫軸相交。
均勻變動性：正態曲線由均數所在處開始，分別向左右兩側逐漸均勻下降。
曲線與橫軸間的面積總等於1，相當於機率密度函式的函式從正無窮到負無窮積分的機率為1。即頻率的總和為100%。
圖2.常態分配曲線圖圖形的面積分布
正態曲線下橫軸上一定區間的面積反映該區間的例數占總例數的百分比，或變數值落在該區間的機率（機率分布）。不同 範圍內正態曲線下的面積可用公式計算。
正態曲線下，橫軸區間(μ-σ,μ+σ)內的面積為68.268949%。
P{|X-μ|<σ}=2Φ(1)-1=0.6826
橫軸區間(μ-1.96σ,μ+1.96σ)內的面積為95.449974%。
P{|X-μ|<2σ}=2Φ(2)-1=0.9544
橫軸區間(μ-2.58σ,μ+2.58σ)內的面積為99.730020%。
P{|X-μ|<3σ}=2Φ(3)-1=0.9974
