常態分布曲線

常態分布曲線是一種對稱的鐘形曲線，具有均數等於0，標準差等於1的特點，從而使標準分數在實際運用時非常有用。

基本介紹

• 中文名：常態分布曲線
• 外文名：The normal distribution curve
• 性質：數學術語
• 分類：鐘形曲線
• 學科：數學、統計學

背景

常態分布概念是由德國的數學家和天文學家Moivre於1733年首次提出的，但由於德國數學家Gauss率先將其套用於天文學家研究，故常態分配又叫高斯分布，高斯這項工作對後世的影響極大，他使常態分配同時有了“高斯分布”的名稱，後世之所以多將最小二乘法的發明權歸之於他，也是出於這一工作。但現今德國10馬克的印有高斯頭像的鈔票，其上還印有常態分配的密度曲線。這傳達了一種想法：在高斯的一切科學貢獻中，其對人類文明影響最大者，就是這一項。在高斯剛作出這個發現之初，也許人們還只能從其理論的簡化上來評價其優越性，其全部影響還不能充分看出來。這要到20世紀正態小樣本理論充分發展起來以後。拉普拉斯很快得知高斯的工作，並馬上將其與他發現的中心極限定理聯繫起來，為此，他在即將發表的一篇文章（發表於1810年）上加上了一點補充，指出如若誤差可看成許多量的疊加，根據他的中心極限定理，誤差理應有高斯分布。這是歷史上第一次提到所謂“元誤差學說”——誤差是由大量的、由種種原因產生的元誤差疊加而成。後來到1837年，海根（G.Hagen）在一篇論文中正式提出了這個學說。

其實，他提出的形式有相當大的局限性：海根把誤差構想成個數很多的、獨立同分布的“元誤差” 之和，每隻取兩值，其機率都是1/2，由此出發，按狄莫佛的中心極限定理，立即就得出誤差（近似地）服從常態分配。拉普拉斯所指出的這一點有重大的意義，在於他給誤差的正態理論一個更自然合理、更令人信服的解釋。因為，高斯的說法有一點循環論證的氣味：由於算術平均是優良的，推出誤差必須服從常態分配；反過來，由後一結論又推出算術平均及最小二乘估計的優良性，故必須認定這二者之一（算術平均的優良性，誤差的正態性） 為出發點。但算術平均到底並沒有自行成立的理由，以它作為理論中一個預設的出發點，終覺有其不足之處。拉普拉斯的理論把這斷裂的一環連線起來，使之成為一個和諧的整體，實有著極重大的意義。

定義

常態分布又稱高斯分布，一般研究變數，常會呈現常態分布或近似常態分布，如身高，體重，收入，支出等等。常態分布曲線是一種對稱的鐘形曲線，具有均數等於0，標準差等於1的特點，從而使標準分數在實際運用時非常有用。

套用

例如一場考試中成績的判定，知道了常態分布曲線的Z分數，就能立刻知道該分數是在均數以上還是在均數以下。又因為標準分數是根據標準差求得的，知道了標準分數也就知道了它出現的機率。比如，在整個常態分布中，有34%的分數位於從均數到1個標準差的區域內，16%的分數位於分布的兩端超出1個標準差的區域，大於2個標準差的分數隻占2.5%。

常態分布可以表示一個人的的得分在一個團體中的相對地位，可以在使用百分等級之外，選擇使用〝標準分數〞：Z分數和T分數。(也就是將原始分數轉換為一種以平均數為基準，以標準差為單位的距變數。以標準分數的優點來說：可以直接比較某生在不同考試中的相對地位或不同考生在不同考試中的相對地位。

實現過程

常態分布曲線的實現方法有多種，這裡介紹常用的一種方法：利用Excel表格實現。

因為是標準正太分布，即μ=0，σ=1，做曲線圖按以下步驟：
1.在A1輸入公式
2.在B1輸入公式
3.下拉複製上面的兩個公式分別到 和

4.以A列為X軸，B列為Y軸插入“XY散點圖”，選擇散點圖的類型為“帶平滑線的散點圖”