邏輯悖論

邏輯悖論總是相對於一個公理系統而言的，如果在一個公理系統中既可以證明公式A又可以證明A的否定元A',則我們說在這個公理系統 中含有一個悖論，因為這時A和A'在系統中是可證等價的。

最著名的邏輯悖論是伯特納德·羅素提出的理髮師悖論。

一個男理髮師的招牌上寫著：

告示：城裡所有不自己刮臉的男人都由我給他們刮臉，我也只給這些人刮臉。

那理髮師可以給自己刮臉么？如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。

伯特納德·羅素提出這個悖論，為的是把他發現的關於集合的一個著名悖論用故事通俗地表述出來。某些集合看起來是它自己的元素。例如，所有不是蘋果的東西的集合、它本身就不是蘋果，所以它必然是此集合自身的元素。來考慮一個由一切不是它本身的元素的集合組成的集合。這個集合是它本身的元素嗎？無論你作何回答，你都自相矛盾。

同時，羅素的這個悖論的提出引發了第三次數學危機。