烏鴉悖論

烏鴉悖論，也叫做亨佩爾的烏鴉或亨佩爾悖論，是二十世紀四十年代德國邏輯學家卡爾·古斯塔夫·亨佩爾（Carl Gustav Hempel）為了說明歸納法違反直覺而提出的一個悖論。

亨佩爾給出了歸納法原理的一個例子：“所有烏鴉都是黑色的”的論斷。我們可以出去觀察成千上萬隻烏鴉，然後發現他們都是黑的。在每一次觀察之後，我們對“所有烏鴉都是黑的”的信任度會逐漸提高。歸納法原理在這裡看起來是合理的。

現在問題出現了。“所有烏鴉都是黑的” 的論斷在邏輯上和“所有不是黑色的東西不是烏鴉”等價。如果我們觀察到一隻紅蘋果，它不是黑色的，也不是烏鴉，那么這次觀察必會增加我們對“所有不是黑色的東西不是烏鴉”的信任度，因此更加確信“所有的烏鴉都是黑色的”！

其他一些哲學家質疑“等價原理”。也許紅蘋果能夠增加我們對論斷“所有不是黑色的東西不是烏鴉”的信任度，而不增加我們對 “所有烏鴉都是黑色的”信任。這個提議受到質疑，因為你不能對等價的兩個命題有不同的信任度，如果你知道他們都是真的或都是假的。

這樣一來，雖然“所有烏鴉都是黑色的”和“所有不是黑色的東西都不是烏鴉”這兩個命題所擁有的信任度必須相等，但只有“黑色的烏鴉”才能同時增加兩者的信任度，而“非黑色的非烏鴉”並不增加任何一個命題的信任度。

基本介紹

• 中文名：烏鴉悖論
• 外文名：Raven paradox
• 別稱：亨佩爾悖論
• 發明人：卡爾·古斯塔夫·亨佩爾
• 內容：歸納法違反直覺

問題綜述

幾千年以來，無數人觀察了許多事物，比如地心引力法則，人們趨於相信其極可能是真理。這種類型的推理可以總結成“歸納法原理”：如果實例X 被觀察到和論斷 T 相符合，那么論斷 T 正確的機率增加。

亨佩爾給出了歸納法原理的一個例子：“所有烏鴉都是黑色的”論斷。我們可以出去觀察成千上萬隻烏鴉，然後發現他們都是黑色的。在每一次觀察之後，我們對“所有烏鴉都是黑色的”的信任度會逐漸提高。歸納法原理在這裡看起來是合理的。

現在問題出現了。“所有烏鴉都是黑色的” 的論斷在邏輯上和“所有不是黑色的東西不是烏鴉”等價。如果我們觀察到一隻紅蘋果，它不是黑色的，也不是烏鴉，那么這次觀察必會增加我們對“所有不是黑色的東西不是烏鴉”的信任度，因此更加確信“所有的烏鴉都是黑色的”！這個問題被總結成：

★我從未見過紫色的牛，I never saw a purple cow

★但若我見到一頭，But if I were to see one

★烏鴉皆黑的機率，Would the probability ravens are black

★更加可能是一么？Have a better chance to be one?

（改寫自吉利特·伯吉斯（Gelett Burgess）的詩）

解決提議

解決它和直覺的衝突，哲學家們提出了一些方法。美國邏輯學家納爾遜·古德曼（Nelson Goodman）建議對我們的推理添加一些限制，比如永遠不要考慮支持論斷“所有P滿足Q”且同時也支持“沒有P滿足非Q” 的實例。

其他一些哲學家質疑“等價原理”。也許紅蘋果能夠增加我們對論斷“所有不是黑色的東西不是烏鴉”的信任度，而不增加我們對 “所有烏鴉都是黑色的”信任。這個提議受到質疑，因為你不能對等價的兩個命題有不同的信任度，如果你知道他們都是真的或都是假的。

古德曼，以及其後的威拉德·馮·奧曼·蒯因，使用術語“projectible predicate”來描述這些類似於“烏鴉”和“黑色”的命題, 所有這類命題是支持歸納推理法的；而“非projectible predicate”則為與之相反的後者，如“非黑”和“非烏鴉”這些命題並不支持歸納推理法。蒯因還提出一個需要證實的猜想：如果任何命題是projectible的；在無限物件組成的全集中，一個projectible的命題的補集永遠是非projectible的。

這樣一來，雖然“所有烏鴉都是黑色的”和“所有不是黑色的東西都不是烏鴉”這兩個命題所擁有的信任度必須相等，但只有“黑色的烏鴉”才能同時增加兩者的信任度，而“非黑色的非烏鴉”並不增加任何一個命題的信任度。

還有些哲學家認為其實這個命題是完全正確的，出錯的是我們自己的邏輯。其實觀察到一個紅色的蘋果確實會增加烏鴉都是黑色的可能性！這就相當於：如果有人把宇宙中所有不是黑的物體都給你看，而你發現所有的物體都不是烏鴉，那你就完全可以斷定所有烏鴉都是黑色的了。這個“悖論”看上去荒謬只是因為宇宙中 “不是黑色的”物體遠遠多於“烏鴉”，所以發現一個“不是黑色的”物體只增加了極其微小的對於“烏鴉都是黑色的”的信任度，而相對而言，每發現一隻黑色的烏鴉就是一個有力的證據了。

貝葉斯定理

除了以上的陳述以外，「歸納法原理」還有另一種形式，就是貝葉斯推理。

設 X 為支持論斷 T 的一個實例，而 I 表示我們所有的已知信息。

T 成立的幾率，已知 X 和 I 都是成立的，可以推得

這裡 Pr(T | I) 表示在只有 I 是已知成立的情況下，T 成立的幾率；Pr(X | TI) 表示在 T 和 I 都已知成立的情況下，X 成立的幾率；而 Pr(X | I) 表示在只有 I 是已知成立的情況下，X 成立的幾率.

套用實例

如果有人隨機選一個蘋果，那么他看到一個紅蘋果的幾率和「烏鴉」的顏色是完全沒有關係的。這時分子等於分母，所以分數等於1，所以以上討論的幾率不會改變。所以看見一隻紅色的蘋果不會增加人們對「烏鴉都是黑色的」的信任度。

而如果那人是隨機選擇一個非黑的物件，那個物件正好是一個紅的蘋果，那么我們會得到一個分子大於分母的，幾乎等於一的假分數。所以在這個情況下，看見一隻紅蘋果確實會極微小地增加我們對「烏鴉都是黑色的」的信任度。

其實，隨著一個人看到的不是黑色的東西的增加（並發現其中沒有烏鴉），「烏鴉都是黑色的」的幾率會趨向於1。

綜上所述，無論是“烏鴉悖論”的一例一例尋求例證，或者是邏輯經驗主義的強意義的證實還是弱意義的或然證實，它的主要目的都是尋找世界的確定性。