基本介紹
- 中文名：超限基數
- 外文名：transfinite cardinal number
- 創始人：格奧爾格·康托爾
- 別稱：無限基數
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：集合論（基數）
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基本介紹
超限基數(transfinite cardinal number)亦稱無限基數，是一類常見的基數，指與有限基數相對的一類基數，可數基數、不可數基數統稱超限基數，超限基數又稱為阿列夫(
)。將所有超限基數從小到大排列出來 ，得到正則超限基數序列：
，是一個無限上升的良序鏈，這裡
是可數基數，也是最小的超限基數。當
時，
都是不可數基數。
超限基數的性質
有下列性質：
1. 對任何基數
，都存在比它更大的基數
，即
2. 若
，則
是一個基數。
3. 超限基數等冪定理：對任何序數
，
4.對任何序數
與
，
5.對任何序數
與
， 當
時，
。
6.對任何序數
，
。
基數
基數(cardinal numbers)是集合論基本概念之一。是通常個數概念的推廣。按康托爾原意，集合a的基數是一切與a一一對應的集合的共同特徵，它既捨棄了a中元素的具體屬性，也不考慮a的元素間的次序關係，所以集a的基數是抽象的結果，用a上加兩劃
(或
)來表示。弗雷格把a的基數定義為所有與a一一對應的集所成之集，即
。在ZFC系統中能證明當
時，
並不構成一個集，而是一個真類。1928年數學家馮·諾伊曼建議選取一個特殊的與a一一對應的集作為a的基數，即把
定義為所有與a一一對應的序數中最小的一個。根據集合的良序化定理，與a一一對應的序數是一定存在的，由於序數類的良序性，所有與a一一對應的序數中必有最小的一個，因此任何集合均有基數，並且兩個集合具有相同基數的充要條件就是它們能夠一一對應，這符合康托爾的原意。因為集合有有限、無限之分，相應地，基數亦有有限、超限之分，有限基數就是自然數；超限基數記作
，表示第
個超限基數，其中
讀作阿列夫，
是一個序數。按照
的隸屬情況，超限基數亦可分為三類：第一類只含
一個基數，它是可數集的基數；當
為後繼序數或極限序數時，分別稱為後繼基數與極限基數，它們分別構成第二類與第三類超限基數。
