豪斯多夫極大原理

豪斯多夫極大原理是佐恩引理的一種更早的形式化表述。事實上，在ZF公理集合論系統中，它和佐恩引理，從而和選擇公理，是等價的。

基本介紹

• 中文名：豪斯多夫極大原理
• 屬於：偏序集中的任何一條對鏈
• 原理：佐恩引理
• 證明：一條ZFC公理集合論系統中的定理

簡介

豪斯多夫極大原理聲稱任何偏序集中的任何一條對鏈，都存在這個偏序集中的一條極大鏈包含這條鏈。

與選擇公理的關係

ZFC中的證明

豪斯多夫極大原理是一條ZFC公理集合論系統中的定理。它可以由佐恩引理證明如下：

對任何偏序集(P,≤)和其中的任一條鏈A，所有包含A的鏈按照包含關係可構成一個偏序集(T,≤)，由於後者的任一條鏈S代表前者的一組兩兩之間相互有包含關係且包含A的鏈，所以這組鏈的並集仍是一條包含A的鏈，且是S的一個上界。根據佐恩引理，偏序集(T,≤)有極大元素M，M即為一條包含A的極大鏈。

反推選擇公理

在ZF中，由豪斯多夫極大原理可以簡單地證明佐恩引理，從而也推出了選擇公理：

對任何偏序集(P,≤)，空集是它的一條鏈，根據豪斯多夫極大原理，存在它的一條極大鏈S。若偏序集(P,≤)滿足佐恩引理的條件，即所有的鏈都有上界，則這條極大鏈S也有一個上界M。顯然不存在M'>M，否則把M'接到S上得到一條更長的鏈，與S的極大性矛盾。故M即為原偏序集中的一個極大元素。

由此可見，在ZF中，豪斯多夫極大原理是眾多與選擇公理等價的命題之一。