謝爾賓斯基數問題是處理符合如下形式的數字： N = k * 2^n + 1 (對於奇數 k 和 n > 1) 具有這樣形式的數字被稱為普羅斯數 (Proth numbers) 。對於一個特定的值 k ， 取任意的 n 都可以使 N 成為一個合數 (Composite numbers) 那么這個 k 就可以稱為是一個謝爾賓斯基數 (Sierpinski number) 。謝爾賓斯基問題本身是： “什麼是最小的謝爾賓斯基數？” 。
約翰·塞爾弗里奇 (John Selfridge) 40年前曾經證明 k=78557 是一個謝爾賓斯基數。 大多數數學家相信它就是最小的，但這一點還未得到證明。為了證明它，我們所需要做的就是證明每個更小的 k 都不是謝爾賓斯基數——也就是說，要對每一個 k<78557 找到一個 n，使得 N=k*(2^n)+1 是素數。
簡介,難題,
簡介
人們在研究費爾馬數Fn=2^2^n+1的因子k*2^m+1時，不知道這種形狀的素數究竟有多少個，如果將m固定，則k*2^m+1是以2^m為公差的等差級數，根據狄利赫萊定理知，它有無窮多個素數。那么當k固定，數列k*2^m+1是否也有無窮多個素數呢？斯塔克構造了一個數k=2935363331541925531,使得對於任意一個自然數m,k*2^m+1都是合數。早在1960年，波蘭數學家謝爾賓斯基一般性地證明了：存在無窮多個正奇數k,使得k*2^m+1都是合數。人們稱這樣的數k為謝爾賓斯基數。
難題
圍繞這謝爾賓斯基數有兩個熱門的難題未解決：
（1）是否存在謝爾賓斯基數k,使得對於任何s個素數p1,p2,...ps,都存在一個自然數m,使得k*2^m+1與p1p2...ps互素？
（2）尋找最小的謝爾賓斯基數k0,即，求出最小的正奇數k0，使得k0*2^m+1對於每一個自然數m都是合數。
關於問題（2）有如下一些結論：
1962年數學家賽爾弗利奇發現下面兩個重要事實：1。形如78557*2^m+1的數總能被3，5，7，13，19，37，73之一整除，即78557是謝爾賓斯基數；2。對於k<383,必存在形如k*2^m+1素數，即當k<383時，不存在謝爾賓斯基數，這兩個結論表明：最小謝爾賓斯基數k0滿足：
383=<k0=<78557
1983年，傑斯基在賽爾弗利奇的基礎上又作了深入的研究，在小於78557的自然數中尋找到91個謝爾賓斯基數，其中最小的一個是3061，於是，有：383=<k0=<3061
最小謝爾賓斯基數的範圍被大大地縮小了。
