謝爾賓斯基數問題是處理符合如下形式的數字：N=k*2^n+1(對於奇數k和n>1)具有這樣形式的數字被稱為普羅斯數(Prothnumbers)。對於一個特定的值k，取任意的n都可以使N成為一個合數(Compositenumbers)那么這個k就可以稱為是一個謝爾賓斯基數(Sierpinskinumber)。謝爾賓斯基問題本身是：“什麼是最小的謝爾賓斯基數？”。約翰·塞爾弗里奇(JohnSelfridge)40年前曾經證明k=78557是一個謝爾賓斯基數。大多數數學家相信它就是最小的，但這一點還未得到證明。為了證明它，我們所需要做的就是證明每個更小的k都不是謝爾賓斯基數——也就是說，要對每一個k
謝爾賓斯基數,關於謝爾賓斯基數的兩個難題：,
謝爾賓斯基數
人們在研究費爾馬數Fn=2^2^n+1的因子k*2^m+1時，不知道這種形狀的素數究竟有多少個，如果將m固定，則k*2^m+1是以2^m為公差的等差級數，根據狄利赫萊定理知，它有無窮多個素數。那么當k固定，數列k*2^m+1是否也有無窮多個素數呢？斯塔克構造了一個數k=2935363331541925531,使得對於任意一個自然數m,k*2^m+1都是合數。早在1960年，波蘭數學家謝爾賓斯基一般性地證明了：存在無窮多個正奇數k,使得k*2^m+1都是合數。人們稱這樣的數k為謝爾賓斯基數。
關於謝爾賓斯基數的兩個難題：
圍繞這謝爾賓斯基數有兩個熱門的難題未解決：
（1）是否存在謝爾賓斯基數k,使得對於任何s個素數p1,p2,...ps,都存在一個自然數m,使得k*2^m+1與p1p2...ps互素？
（2）尋找最小的謝爾賓斯基數k0,即，求出最小的正奇數k0，使得k0*2^m+1對於每一個自然數m都是合數。
關於問題（2）有如下一些結論：
1962年數學家賽爾弗利奇發現下面兩個重要事實：1。形如78557*2^m+1的數總能被3，5，7，13，19，37，73之一整除，即78557是謝爾賓斯基數；2。對於k<383,必存在形如k*2^m+1素數，即當k<383時，不存在謝爾賓斯基數，這兩個結論表明：最小謝爾賓斯基數k0滿足：
383=<78557
1983年，傑斯基在賽爾弗利奇的基礎上又作了深入的研究，在小於78557的自然數中尋找到91個謝爾賓斯基數，其中最小的一個是3061，於是，有：383=<3061
最小謝爾賓斯基數的範圍被大大地縮小了。
