調和平均數

調和平均數（harmonic mean）又稱倒數平均數，是總體各統計變數倒數的算術平均數的倒數。調和平均數是平均數的一種。但統計調和平均數，與數學調和平均數不同，它是變數倒數的算術平均數的倒數。由於它是根據變數的倒數計算的，所以又稱倒數平均數。調和平均數也有簡單調和平均數和加權調和平均數兩種。

在數學中調和平均數與算術平均數都是獨立的自成體系的。計算結果前者恆小於等於後者。 因而數學調和平均數定義為：數值倒數的平均數的倒數。但統計加權調和平均數則與之不同，它是加權算術平均數的變形，附屬於算術平均數，不能單獨成立體系。且計算結果與加權算術平均數完全相等。 主要是用來解決在無法掌握總體單位數（頻數）的情況下，只有每組的變數值和相應的標誌總量，而需要求得平均數的情況下使用的一種數據方法。

基本介紹

• 中文名：調和平均數
• 外文名：harmonic mean
• 學科：數學

分類

簡單調和平均數

簡單調和平均數是算術平均數的變形，它的計算公式如下：

加權調和平均數

加權調和平均數是加權算術平均數的變形。它與加權算術平均數在實質上是相同的，而僅有形式上的區別，即表現為變數對稱的區別、權數對稱的區別和計算位置對稱的區別。因而其計算公式為：

加權調和平均數的套用: 在很多情況下，由於只掌握每組某個標誌的數值總和（M）而缺少總體單位數（f）的資料，不能直接採用加權算術平均數法計算平均數，則應採用加權調和平均數。

例如：某工廠購進材料三批，每批價格及採購金額資料如下表：

	價格（元/千克） （x）	採購金額（元） （m）	採購數量（千克） （m/x）
第一批	35	10000	286
第二批	40	20000	500
第三批	45	15000	330
合計	--	45000	1116

套用

調和平均數可以用在相同距離但速度不同時，平均速度的計算；如一段路程，前半段時速60公里，後半段時速30公里〔兩段距離相等〕，則其平均速度為兩者的調和平均數時速40公里。

另外，兩個電阻R₁， R₂並聯後的等效電阻R：

恰為兩電阻調和平均數的一半。

區別關係

區別

算術平均數和調和平均數是平均指標的兩種表現形式。算術平均數和調和平均數並非兩類獨立的平均數;算術平均數和調和平均數的數值之間並無直接關係，也不存在誰大誰小的問題;不能根據同一資料既計算算術平均數，又計算調和平均數，否則就是純數字遊戲，而非統計研究。

關係

算術平均數、調和平均數、幾何平均數是三種不同形式的平均數，分別有各自的套用條件。進行統計研究時，適宜採用算術平均數時就不能用調和平均數或幾何平均數，適宜用調和平均數時，同樣也不能採用其他兩種平均數。但從數量關係來考慮，如果用同一資料（變數各值不相等）。

計算以上三種平均數的結果是：算術平均數大於幾何平均數，而幾何平均數又大於調和平均數。當所有的變數值都相等時，則這三種平均數就相等。它們的關係可用不等式表示：H≤G≤X

公式特點

調和平均數具有以下幾個主要特點：

①調和平均數易受極端值的影響，且受極小值的影響比受極大值的影響更大。

②只要有一個標誌值為0，就不能計算調和平均數。

③當組距數列有開口組時，其組中值即使按相鄰組距計算，假定性也很大，這時的調和平均數的代表性很不可靠。

④調和平均數套用的範圍較小。在實際中，往往由於缺乏總體單位數的資料而不能直接計算算術平均數，這時需用調和平均法來求得平均數。

注意事項

（1）當變數數列有一變數X的值為零時，調和平均數公式的分母將等於無窮大，因而無法求出確定的平均值。

（2）調和平均數和算術平均數一樣，易受兩極端值影響。上端值越大，平均數向上偏離集中趨勢就越大。反之，下端值越大，平均數向下偏離集中趨勢越大。

（3）要注意區分調和平均數和算術平均數的使用條件，因事制宜。