調和分析中的疊加效應和小波方法

《調和分析中的疊加效應和小波方法》是依託武漢大學，由楊奇祥擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：調和分析中的疊加效應和小波方法
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：楊奇祥
• 依託單位：武漢大學

項目摘要

本項目用小波分析分布及分布相乘時的疊加效應並用於三個問題的研究。申請人等用小波刻畫了大量函式分布和運算元分布。絕大多數函式空間分類成更廣的六類空間，即振盪型、原子型和Lorentz型的Besov空間和Triebel-Lizorkin空間。本項目目標之一是通過小波系統地研究調和函式，解析函式，以及Dunkl調和函式的邊值及相關性質。傳統方法能考慮部分可測函式，不能用於分布，好函式下的疊加技巧可突破這一限制。上世紀五十年代起，Mazya等利用緊集上容量的概念系統地研究Sobolev空間上的乘子。但一般緊集上容量很難計算。第二個目標是利用小波展開研究上述六類函式空間的乘子空間及相關非線性問題。傳統的研究流體方程的辦法不能很好描述解時間空間和頻率三者的關係。小波不但能，還把能量不等式轉成關於小波係數的Holder不等式。本項目第三個目標是針對上述六類函式空間研究流體方程以及其它非線性方程的解的適定性

結題摘要

調和分析的主要問題之一是函式空間和運算元連續性的研究，這種研究正走向越來越精細化的方向並用於微分方程的研究。調和分析中的疊加效應和小波方法正是適應這一變化而提出來的。我們的方法能夠比較精確地反映不同位置和頻率對疊加效應進行分析。根據Schwartz理論，一個運算元也對應著分布，我們把函式和運算元都採用適當的方法進行分解。絕大多數函式空間分類成更廣的六類空間，即振盪型、原子型和Lorentz型的Besov空間和Triebel-Lizorkin空間。本項目內容之一是通過小波系統地研究調和函式，解析函式，以及Dunkl調和函式的邊值及相關性質。傳統方法能考慮部分可測函式，不能用於分布，好函式下的疊加技巧可突破這一限制。上世紀五十年代起，Mazya等利用緊集上容量的概念系統地研究Sobolev空間上的乘子。但一般緊集上容量很難計算。第二部分內容是利用小波展開研究上述六類函式空間的乘子空間及相關非線性問題。傳統的研究流體方程的辦法不能很好描述解時間空間和頻率三者的關係。小波不但能，還把能量不等式轉成關於小波係數的Holder不等式。本項目第三部分內容是針對上述六類函式空間研究流體方程以及其它非線性方程的解的適定性。本項目發表或錄用論文約20篇。培養博士和碩士15名。在武漢大學組織了兩次調和分析的會議，為本領域專家的交流提供了合適的平台。項目組在國內外學術會議和在其它單位受邀報告，總共50餘次。本項目促進了調和分析領域專家的交流，為調和分析及非線性問題的研究提供了一些新的數學方法。給出了函式空間和運算元連續性研究的新的結果，發表和錄用了較多的SCI文章。並提供了新的研究方法，建立了比較系統的理論。在乘子方面，在函式相乘的乘子和Fourier乘子的研究上取得了一定的進展。我們還研究了線性的Schrodinger方程。我們研究了在不同的初值空間的多個流體方程的適定性，對非線性方程的結構有了較為透徹的理解。我們改進和發展了與上述問題有關的已有結果，得到了相當數目的SCI雜誌的承認。我們對頻率，位置以及各種性質對收斂性控制的相互影響的細緻理解為下一步的研究打下了很好的基礎。下一步我們將研究帶參數的運算元的聯動結構在非線性問題中的套用。