解析開拓原理

解析開拓原理是擴大解析函式定義域的原理。解析延拓是數學上將解析函式從較小定義域拓展到更大定義域的方法。

基本介紹

• 中文名：解析開拓原理
• 外文名：principle of analytic continuation
• 適用範圍：數理科學

定義

解析開拓原理是擴大解析函式定義域的原理。

設平面上的區域D₁與D₂有一公共部分d，函式f₁(z)在D₁內解析，函式f₂(z)在D₂內解析，且在d=D₁∩D₂上有f₁(z)=f₂(z)，則函式

是區域D=D₁∪D₂上的單值解析函式。

解析延拓

解析延拓是數學上將解析函式從較小定義域拓展到更大定義域的方法。透過此方法，一些原先發散的級數在新的定義域可具有迥異而有限的值。其中最知名的例子為Γ函式與黎曼ζ函式。

把解析函式的定義域擴大的過程。解析開拓通常有兩種方法，一種是利用冪級數進行解析開拓，這是外爾斯特拉斯的貢獻。他研究了解析函式用冪級數表示的問題。另一種解析開拓的方法是利用施瓦茲對稱原理，這是由德國數學家施瓦茲建立的把解析函式定義域作對稱擴大的解析開拓法。

解析函式

區域上處處可微分的複函數。17世紀，L.歐拉和J.leR.達朗貝爾在研究水力學時已發現平面不可壓縮流體的無旋場的勢函式Φ(x，y)與流函式Ψ(x，y)有連續的偏導數，且滿足微分方程組，並指出f(z)=Φ(x，y)+iΨ(x，y)是可微函式，這一命題的逆命題也成立。柯西把區域上處處可微的複函數稱為單演函式，後人又把它們稱為全純函式、解析函式。B.黎曼從這一定義出發對複函數的微分作了深入的研究，後來，就把上述的偏微分方程組稱為柯西-黎曼方程，或柯西-黎曼條件。