覆蓋函式

覆蓋函式有兩種，分別是全局覆蓋函式和局部覆蓋函式。當前數值流形法多採用基於全局坐標的多項式覆蓋函式(簡稱全局覆蓋函式)。部覆蓋函式使得在物理覆蓋區域內的單元剛度矩陣與單元的具體位置無關,即與單元距坐標原點的遠近無關,使剛度矩陣的性態得到一定程度的改善。

基本介紹

• 中文名：覆蓋函式
• 外文名：coverage function
• 拼音： fù gài hán shù
• 類別：數學
• 分類：全局、局部
• 套用：數值流形法

覆蓋函式的定義

當前數值流形法多採用基於全局坐標的多項式覆蓋函式(簡稱全局覆蓋函式)。當全局覆蓋函式擴展到高階時，單元的精度雖能得到提高，但對於遠離坐標原點的單元，會在剛度矩陣的非主對角線上出現與絕對坐標相關、相比其它元素而言數值很大的元素，對剛度矩陣的性態造成不良影響。非主對角線上出現大數之原因，並採取局部覆蓋函式使得問題有所改善，但在單元尺寸遠大於1或遠小於1時，剛度矩陣的性態仍沒有得到有效改善。在全局高階覆蓋函式情況，位於物體邊界上占據部分數學格線的小單元也會嚴重影響剛度矩陣的性態。用一個相鄰大單元的位移場來描述小單元的位移場，使得計算得以進行。但是，這種處理方法在理論上是不嚴密的，因為導致了小單元與其他相鄰大單元間的位移不協調，應力計算精度低。

覆蓋函式的計算方法

數值流形法採用兩套相互獨立的格線，即反映數值解精度的數學格線和表示幾何邊界、材料分區的物理格線，將整個研究區域劃分成有限個相互重疊的集合(稱為物理覆蓋)。物理覆蓋的公共區域(交集)，即兩套格線的交集，稱為流形元。在各個物理覆蓋上獨立定義位移覆蓋函式，通過權函式加權平均得到流形元的位移場。目前都採用有限元格線構造數學格線，有限元的形函式即是權函式。

這種局部覆蓋函式使得在物理覆蓋區域內的單元剛度矩陣與單元的具體位置無關，即與單元距坐標原點的遠近無關，使剛度矩陣的性態得到一定程度的改善。但當單元尺寸遠大於1或遠小於1時，剛度矩陣的性態仍不能得到有效改善。

覆蓋函式的改進

改進的局部覆蓋函式，其基底的絕對值在覆蓋區域內均小於等於1，廣義位移不會因為單元尺寸的大小而在數值上相差很大，從而進一步改善了剛度矩陣的性態。

當採用全局覆蓋函式時，單元尺寸越大或越小時，剛度矩陣性態越差;當採用局部覆蓋函式時，剛度矩陣的性態得到改善，但單元尺寸越大或越小時，剛度矩陣的性態也會變差;當採用改進的局部覆蓋函式時，剛度矩陣性態得到明顯改善，且剛度矩陣的性態與單元邊長的絕對值無關，僅與邊長的比值有關。

採用局部覆蓋函式時，可先按全局覆蓋函式計算單元剛度矩陣和等效荷載矩陣，然後利用轉換矩陣將它們變換為局部覆蓋函式的單元剛度矩陣和等效荷載矩陣，並組裝得到整體剛度矩陣和荷載矩陣中。求解整體平衡方程組獲得局部覆蓋函式的廣義位移後，利用上述有關公式計算全局覆蓋函式的廣義位移，進而計算單元應力。因此，採用局部覆蓋函式時，其公式推導過程和程式編寫與全局覆蓋函式情況基本一樣。

覆蓋函式的套用

數值流形法中數學格線與物理格線相互獨立，數學格線剖分方便，但在物理邊界上容易形成只占據部分數學格線單元的小流形元。在高階覆蓋函式情況，小單元的剛度矩陣性態差，從而影響其應力計算精度。

改進的局部覆蓋函式能有效地改善剛度矩陣的性態。適當選擇局部化點建立局部覆蓋函式，可顯著改善邊界處小單元的應力計算精度。因此，在高階流形法分析中，改進的局部覆蓋函式是一個合適的選擇，也可供其他類似數值分析方法借鑑。