複數的概念

《複數的概念》是安丘市青雲學府提供的微課課程，主講教師為馬建進。

基本介紹

• 中文名：複數的概念
• 提供學校：安丘市青雲學府
• 主講教師：馬建進
• 類別：微課

課程簡介

本節課的教學內容是數學的擴充的第一節，從實數擴充到了複數，內容分析如下： 一、編寫特色 1. 通過方程的根，體會數系擴充的必要性。了解數學中的內部矛盾如何推動數系的擴充。 2. 揭示複數、點的坐標、向量的坐標之間的聯繫，建立複數加、減法運算與向量加法運算之間的聯繫。 二、內容分析 1．本章是在國小、國中和高中所學知識的基礎上，介紹複數的概念、複數的代數形式的運算和數系的擴充等內容。本章分兩大節，第一大節是“數系的擴充與複數的概念”，第二節是“複數的運算”。第一節中，首先簡要地展示了數系的擴充過程，回顧了數的發展，並指出當數集擴充到實數集時，由於負數不能開平方，因而大量代數方程無法求解，於是就產生了要拓展新數的要求，從而引入了數i 。 2.它的地位與作用 在中學裡，學習一些複數的基礎知識是十分必要的，使高中畢業生對於數的概念初步的有一個較完整的認識，而且給學生運用數學知識解決問題增添了新的工具，同時也為進一步學習高等數學、力學和電學打下了一定的基礎。 3.重點與難點 複數的概念，代數表示是整個內容的出發點，它的向量表示、求模都是與以前內容相關的，這些學生不易接受和掌握，是本章的難點。

設計思路

設計是：從我們熟知的國小運算入手，從無解到我們的空集，從而引入這一問題的 解決方法---複數的引入。 【引入】： 我們在上國小的時候知道1+1=2,1+2=3，那么1-2=？到了國中就知道了，同樣，在國中我們知道m2 =9,則m=3或-3，m2=1,則m=1或-1，當m2=-1呢？ 大家都知道，數，是數學中的基本概念，也是我們生活和科學技術時刻離不開的語言和工具。那么，本節課我們引入一個新的數i,來解決這個問題，這也是本節課我們重點學習的內容。 問題1： 引入數i之後，那么它的運算律怎樣呢？它的運算周期又是多少呢？ 同學們自己解決一下：i2015= i2016= . 問題2：複數的概念是怎樣的呢？它也是個形式的定義 同學們接著進行【一試身手】的檢驗（同學們可以自由的回答問題） 【一試身手】：下列數是否是複數，試找出它們各自的實部和虛部。 ， ， ， ， ， ， ，0 問題3：數在不斷的發展，到目前為止，經歷了三次擴充， （1）回顧數從自然數發展到實數的三次擴充歷程。 （2）說明數集N,Z,Q,R，C的關係 （2）分析每一次引入新數，擴大數系的原因。 同學們說的非常好，數的這種發展一方面是生產生活的需要，另一方面也是數學本身發展的需要。 數與數之間的聯繫正是通過一些運算建立起來的，如果沒有運算，數不過是一些孤立的符號，毫無意義， 接下來讓我們從運算的角度，進一步討論數的擴充。 問題4： 對於加、減、乘、除、乘方、開方這六種運算來說，在以下四個數集中， (1)任意兩個數運算所得的結果是否仍然屬於這個數集。 (2)試著分析，引入負數，分數，無理數對於運算的影響。 我們看到，新的數集中，原有的運算律仍然適用， 同時引入新數後，使得原來的某種不可以實施的運算變得可行了。 問題4：現在我們進行了數系的擴充後，那么數又是怎么分類的呢？ 同學們與老師一起進行探討與分析，最後老師板書複數的分類。 引入虛數，負數可以開方了，那么 就有意義了。我們希望，引入虛數後，原來在實數集中給出的運算規則仍能適用。例如，在引入虛數後，我們希望能把 表示成 的形式。實際上任何一個負數的平方根都可以表示成一個實數與 的乘積的形式， 現在我們規定：（1） ；（2） 。 問題5：複數怎樣表示相等呢？兩個複數能比較大小嗎？兩個複數不能比較大小對嗎？ 我們進行分小組討論（早就分好的學習與競賽小組） 問題6：複數的向量表示及幾何意義是什麼呢？ 我們一起來回憶向量的表示及它的長度表示，實際上是與數軸上的點是一一對應的。進而引出由向量的模求複數模的方法。 （學生根據課件求複數模的練習題進行鞏固提高。）