複合分布

複合分布(composite distribution)是一類機率分布，如果一個隨機變數ξ服從的分布與一個參數α有關，而α也是一個隨機變數，α服從一個確定的分布，這時稱隨機變數ξ服從一個複合分布。例如，複合二項分布、複合泊松分布、複合負二項分布等。

基本介紹

• 中文名：複合分布
• 外文名：composite distribution
• 所屬學科：數學（統計學）
• 舉例：複合二項分布、複合泊松分布等
• 屬性：一類機率分布

基本介紹

複合分布是由分布參數的隨機化產生的機率分布。設隨機變數的分布函式[或機率函式]所依賴的參數本身是隨機變數，則由分布函式[或機率函式]

所決定的機率分布稱做複合分布。如X服從參數為的指數分布，其分布函式為，而服從參數為的分布，則相應的複合分布的分布函式為

混合分布也可以視為複合分布。

相關定理

設隨機變數服從的分布與一個參數有關，而也是一個隨機變數，它服從一個確定的分布，且與相互獨立，這時稱隨機變數服從一個複合分布。

定理1設隨機變數與參數均是取值為非負整數的離散型隨機變數，且，則複合分布為

證明：考慮二維隨機變數，對於，由條件分布，得

故邊際分布

即為所求。

定理2設為離散型隨機變數，為連續型隨機變數，其密度函式滿足，當

時，時，，則複合分布為

其中。

定理3設為連續型隨機變數，其密度函式為，為離散型隨機變數，其分布滿足，則複合分布為

定理4設，均為連續型隨機變數，其密度函式分別為且滿足，當時，，則複合分布的密度函式為

舉例說明

例1 複合二項分布

設服從二項分布，，其中n服從參數為的泊松分布，則複合二項分布為

例2 設隨機變數服從泊松分布

其中參數是一個連續型隨機變數。其密度函式

則複合分布為

令，，於是