複合函式微分法

複合函式微分法

多元函式微分學是數學分析領域的重要內容。在多元函式微分學中,主要討論的是多元函式的可微性及其套用,而二元函式的可微性則是多元函式可微性研究的重點。複合函式微分法則是二元函式可微性的進一步研究。

基本介紹

  • 中文名:複合函式微分法
  • 外文名:Compound function differential method
  • 學科:數學
  • 領域範圍:多元函式微分學
複合函式的求導法則,定理1,注意,複合函式的全微分,

複合函式的求導法則

設函式
定義在
平面的區域
上,函式
定義在
平面的區域
上,且
則函式
是以(2)為外函式,(1)為內函式的複合函式。其中
稱為函式
的中間變數,
的自變數。

定理1

若函式
在點
可微,
在點
可微,則複合函式
在點
可微,且它關於
的偏導數分別為
上述兩個公式也稱為鏈式法則

注意

如果只是求複合函式
關於
的偏導數,則定理1中
只需具有關於
的偏導數就夠了。但是對外函式
的可微性假設是不能省略的,否則上述複合函式求導公式不一定成立。如函式
直接計算可知
,但
處不可微。若以
為外函式,
為內函式,則得以
為自變數的複合函式
所以
。這是若用鏈式法則,將得出錯誤的結果
這個例子說明在使用複合函式求導公式時,必須注意外函式
可微這一重要條件。

複合函式的全微分

若以
為自變數的函式
可微,則其全微分為
如果
作為中間變數又是自變數
的可微函式
則由定理1知道,複合函式
是可微的,其全微分為
由於
又是
的可微函式,因此同時有

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