良序原理

自然數集的性質

良序原理指出，自然數集的每個非空子集都有個最小元素，即自然數在其標準的大小關係下構成一良序集。

在定義了自然數的大多數理論框架中，良序原理或者是其中一條公理，或者是一條可證的定理。

在皮亞諾算術系統、二階算術系統和其他一些相關的系統中，良序定理可以由歸納公理導出，而後者本身被看作基本公理。

在將自然數集看成實數集的一個子集時，若假定已知實數集是完備的（作為一條公理或定理），即其每個有下界的子集都有個最大下界，那么每個自然數的子集A（有下界0）也必然有個最大下界a*。由此可以找到一個整數n*使得a*∈(n*-1,n*]，之後可證必有a*=n*，且n*∈A。

在公理集合論中，自然數集定義為最小的歸納集合（包含0且包含本身中每個元素的後繼的集合），可以證明，所有滿足{0,...,n}為良序集的n組成的集合是一個歸納集合，從而是自然數集本身。由此可以推出自然數集本身也是個良序集。

良序原理的意義主要在於，在證明時可以使用所謂的“最小反例法”，它相當於反證法和數學歸納法的結合。

在一些場合中，“良序原理”是“良序定理”的同義詞。見良序定理。