自由積

在數學的群論中，自由積（英語：free product，法語：produit libre）是從兩個以上的群構造出一個群的一種操作。兩個群G和H的自由積，是一個新的群G ∗ H。這個群包含G和H為子群，由G和H的元素生成，並且是有以上性質的群之中“最一般”的。自由積一定是無限群，除非G和H其一是平凡群。自由積的構造方法和自由群（由給定的生成元集合所能構造出的最一般的群）相似。

自由積是群範疇中的余積。

基本介紹

• 中文名：自由積
• 外文名：free product
• 套用學科：數學
• 推廣：共合積
• 相關術語：自由群
• 所屬領域：數學群論

定義

這個群包含G和H為子群，由G和H的元素生成，並且是有以上性質的群之中“最一般”的。自由積一定是無限群，除非G和H其一是平凡群。自由積的構造方法和自由群（由給定的生成元集合所能構造出的最一般的群）相似。

建構方式

若G和H是群，以G和H形成的字是以下形式的乘積：

其中 是G或H的元。這種字可以用以下的操作簡化：

• 除去其中的（G或H的）單位元，
• 將其中的g₁g₂一對元素以其在G中的積代替，將其中的h₁h₂一對元素以其在H中的積代替。

每個簡約字都是G的元素和H的元素交替的積，例如：

自由積G∗H的元素是以G和H形成的簡約字，其上的運算是將兩字接合後簡化。

例如若G是無窮循環群<x>，H是無窮循環群<y>，則G∗H的元素是x的冪和y的冪交替的積。此時G∗H同構於以x和y生成的自由群。

設 是群的一個族。用 形成的字，也可以用上述操作簡化為簡約字。

仿上可定義出 的自由積。

表示

設

是G的一個展示（S_G是生成元的集合，R_G是關係元的集合）

又設

是H的一個展示。那么

即是G∗H是G的生成元和H的生成元所生成，而其關係是G的關係元和H的關係元所組成。（兩者都是不交並。）

性質

將 自然地映射到 的群同態是內射，故此這個群同態將 嵌入到 中為子群。

泛性質

設G是群， 是由群組成的一個族，有一族群同態 。那么存在唯一的群同態 ，使得對所有 都有 。

其中 是把 嵌入到 中的群同態。

推廣

共合積（英語：amalgamated (free) product或free product with amalgamation，法語：produit (libre) amalgamé）是自由積的推廣。設G和H是群，又設F是另一個群，並有群同態。

及

對F中所有元素f，在自由積G∗H中加入關係

便得出其共合積。換言之，在G∗H中取最小的正規子群N，使得上式左方的元素都包含在內，則商群就是共合積 。

共合積可視為在群範疇中圖表 的推出。

塞弗特－范坎彭定理指，兩個路徑連通的拓撲空間沿著一個路徑連通子空間接合的並，其基本群是這兩個拓撲空間的基本群的共合積。

共合積及與之相近的HNN擴張，是討論在樹上作用的群的Bass–Serre理論的基本組件。