自然數冪求和公式

自然數冪求和公式，是李善蘭先生提出的一種數列求和公式。它的提出在中國數學史上有重要地位。

基本介紹

• 中文名：自然數冪求和公式
• 別稱：數列求和公式
• 提出者：李善蘭
• 套用學科：數學
• 出處：《垛積比類》

概念

自然數冪求和公式是清朝數學家李善蘭先生在他的著作《垛積比類》中提出的一種數列求和公式。

公式

公式具體內容:

自然數冪求和公式

推導

它不是一個等差數列，也不是一個等比數列，但通過二項式定理的展開式，可以轉化為按等差數列，由低次冪到高次冪遞進求和，最終可推導至李善蘭自然數冪求和公式的原形。

當n為奇數時，由1+2+3+...+N與s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:

2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N

=N+N+N+...+N加或減去所有添加的二項式展開式數

=(1+N)N減去所有添加的二項式展開式數。

當n為偶數時，由1+2+3+...+N與s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:

2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N

=2N+2[(N-2)+(N-4)+(N-6)+...0或1]加或減去所有添加的二項式展開式數

又當n為偶數時，由1+2+3+...+N與s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:

2s=[N+1]+[(N-1)+2]+[(N-2)+3]+...+[(N-N-1)+(N-1)]

=2[(N-1)+(N-3)+(N-5)+...0或1]加或減去所有添加的二項式展開式數,合併n為偶數時2S的兩個計算結果，可以得到s=N+(N-1)+(N-2)+...+1的計算公式。

其中，所有添加的二項式展開式數，按下列二項式展開式確定，如此可以順利進行自然數的1至n冪的求和公式的遞進推導。（最終推導至李善蘭自然數冪求和公式）