基本介紹
- 中文名：伊斯雷爾·蓋爾范特
- 外文名：Israel Moiseevich Gelfand
- 國籍：烏克蘭
- 出生日期：1913年9月2日
- 逝世日期：2009年10月5日
- 職業：數學家、生物學家、數學物理學家
- 畢業院校：莫斯科大學
- 主要成就：伊斯雷爾·蓋爾范特-奈馬克定理
巴拿赫代數理論的蓋爾范特表示
孤立子理論
復典型李群的表示理論
無限維空間上的分布理論和測度等
人物簡介,個人生平,莫斯科大學,沃爾夫數學獎,研究領域,研究成就,研究特點,群表示論,積分幾何,廣義函式,無窮維李代數的上同調,微分方程,生物學和生理學,其他領域,研究工作的特點,
人物簡介
伊斯雷爾·蓋爾范特，英文名Gelfand[1]蘇聯數學家，生物學家。蓋爾范特在數學、數學物理、生物學等各個學科有著重要成就．1913年9月2日生於烏克蘭敖德薩省．1932年，年僅19歲的蓋爾范特被錄取為莫斯科大學的研究生，師從柯爾莫哥洛夫。1940年，蓋爾范特獲蘇聯物理數學科學博士學位，在學位論文中，他創建了賦范環論，即巴拿赫代數論。1943年，蓋爾范特開創了C *代數的研究並開始擔任莫斯科大學教授。1958年以後，蓋爾范特幾乎不再獨自進行研究，但與很多人有著合作的關係。事實上，在蓋爾范特一生髮表的論文中，只有33篇以他個人的名義發表，而同他聯名發表論文的作者，共有206位(包括中國數學家夏道行)．合作發表50篇以上者2位；20至49篇者5位；10至19篇者22位；5至9篇者21位．論文涉及的領域也十分廣泛，包括巴拿赫代數、調和分析、群表示論、積分幾何、廣義函式、無窮維李代數的上同調、微分方程、生物學和生理學。蓋爾范特又譯為蓋爾范德，譯文蓋爾范德更常用。
他專長泛函分析，是一位多產的數學家。1978年，蓋爾范特得到了沃爾夫數學獎。
個人生平
蓋爾范特出生於一個貧窮的猶太人家庭．由於家境貧寒，甚至未能完成中等教育．他在中學時就對數學極感興趣，試圖自學高等數學，但買不起書．他不得不趁得闌尾炎需動手術之機向雙親要求，聲言如不給他買書，就不去敖德薩醫院．他終於得到了高等數學教材第一冊(父親的錢只夠買一本)，在醫院用9天時間自修了平面解析幾何和微分學．據他回憶，中學時實際上就獨立推出了歐拉-馬克勞林公式、伯努利數、前n個自然數p次冪的求和公式等，並培養了解題後繼續思考的習慣。
1930年2月，蓋爾范特隨父去莫斯科投靠遠親．起初生活困難，經常失業，只得打工做雜活，包括在列寧圖書館做檢查員．閒暇時他都在圖書館讀書，補充在中學及未結業的職業技術學校沒有學到的知識．在圖書館，他結識了不少大學生，併到莫斯科大學旁聽數學課，還參加討論班．他曾說他平生第一所數學學校便是M．A．拉甫倫捷夫主持的複變函數討論班。18歲時他即在夜校講授初等數學，後來也教高等數學。
1932年，從未上過正規大學的蓋爾范特被莫斯科大學錄取為研究生，師從A．H．柯爾莫哥洛夫．他後來說，從莫斯科大學優秀數學家那裡他學到了許多知識，而從柯爾莫哥洛夫身上學到最多，使他懂得當代數學家應該成為自然哲學家。
柯爾莫哥洛夫讓蓋爾范特在新興的泛函分析領域從事研究．1935年，蓋爾范特以關於抽象函式和線性運算元的論文獲副博士學位．在該文和稍早的另一篇論文中，他得到了泛函分析中不少基本結果，例如完全賦范空間的“桶型”性質，通過二次對偶空間中的元素定義現稱的蓋爾范特-佩蒂斯積分等．他還在證明過程中建立了泛函分析中通用的通過連續線性泛函轉化為經典分析中對象的方法。
1940年，蓋爾范特獲蘇聯物理數學科學博士學位。在學位論文中，他創建了賦范環(現稱巴拿赫代數)論。在短短2頁的論文中，他建立了賦范環論的基本框架。在緊接著發表的論文(文獻Vol．l，PP．172—174)中，他套用賦范環論只用5行篇幅證明了N．維納(Wiener)早先在一篇長文中證明的著名定理：如果一個不取零值的函式可展開為絕對收斂的傅立葉級數，則其倒數也可展開為絕對收斂的傅立葉級數．他還指明用類似方法可以證明一系列定理．這項成就顯示了賦范環論的威力，引起國際數學界極大興趣．1943年起蓋爾范特任莫斯科大學教授，後來還領導蘇聯科學院套用數學研究所的一個部門．1967年他主持創辦《泛函分析及其套用》雜誌並任主編。
從20世紀30年代後期以來，蓋爾范特在純粹數學和套用數學的眾多分支進行了大量卓有成效的研究。50年代末，他開始研究生物學和生理學．截止到1992年，他本人或與別人合作發表論文近500篇．其中概觀性論文約占7%；關於泛函分析和調和分析的約占6%；關於群表示論的約占16%；關於積分幾何與廣義函式的約占8%；關於無窮維李代數上同調的約占6%；關於微分方程和數學物理的約占9%；關於生物學和生理學的約占23%；其他25%．他還寫作教材或專著18本。1987年至1989年，施普林格出版社出版了《蓋爾范特文選》．此文選經作者審定，凡3卷，共收入論文167篇。
蓋爾范特於1953年當選為蘇聯科學院通訊院士，1984年當選為院士．他於1966年至1970年任莫斯科數學會主席，現為該會名譽會員．他是許多著名科學院或學會的成員，其中有英國皇家學會、美國國家科學院、美國科學與藝術學院、巴黎科學院、瑞典皇家科學院．他還是牛津大學、哈佛大學、巴黎大學的名譽博士．在國內，他曾獲一次列寧獎、兩次國家獎。1978年首次頒發沃爾夫獎時，他與C．L．西格爾(Siegel)一起榮獲沃爾夫數學獎。
蓋爾范特曾在國際數學家大會上作過三次全會報告(1954，1962，1970)．這頗能說明他在當代數學發展中的突出地位．迄今為止，只有V．沃爾泰拉(Volterra)做過4次全會報告；而做過三次的，另外也只有三位，就是E．嘉當(Cartan)、L．阿爾福斯(Ahlfors)和A．韋伊(Weil)。
莫斯科大學
莫斯科大學是俄羅斯規模最大、歷史最悠久的綜合性高等學校。(МГУ)全名國立莫斯科羅蒙諾索夫大學（Московский государственный университет имени Ломоносова）。校址在莫斯科。1755年由教育家M。B。羅蒙諾索夫倡議並創辦。
莫斯科大學
莫斯科大學沃爾夫數學獎
沃爾夫數學獎是沃爾夫獎的一個獎項，它和菲爾茲獎被共同譽為數學界的最高榮譽。獲得該獎項的華人為陳省身和丘成桐。由於菲爾茲獎只授予40歲以下的的年輕數學家，所以年紀較大的數學家沒有獲獎的可能。恰巧1976年1月，R。沃爾夫及其家族捐獻一千萬美元成立了沃爾夫基金會，其宗旨是為了促進全世界科學。藝術的發展。沃爾夫基金會設有：數學。物理。化學。醫學。農業五個獎（1981年又增設藝術獎）。1978年開始頒發，通常是每年頒發一次，每個獎的獎金為10萬美元，可以由幾人分得。
研究領域
他主要工作有:
伊斯拉埃爾·蓋爾范特-奈馬克定理孤立子理論（蓋爾范特-狄基方程）巴拿赫代數理論的蓋爾范特表示復典型李群的表示理論無限維空間上的分布理論和測度常微分方程的蓋爾范特-列維坦理論等等。
研究成就
研究特點
蓋爾范特的科學研究與教學工作緊密相聯．他經常講授入門課程，上課時善於啟發和提出問題．他於1944年開辦泛函分析討論班，後又開設理論物理討論班．他不斷提出獨特的問題，作出深刻的觀察，找出克服困難的線索，從而使他的討論班成為蘇聯發展泛函分析和培養數學新秀的主要中心之一．同他合作的年輕人很多，大都來自他的討論班．他建立了蓋爾范特學派，其中有不少有成就的數學家，如皮亞捷茨基-沙皮羅、Д．A．卡日坦(K奈瑪克、希洛夫、福明、基里洛夫、戈拉葉夫、富克斯、И．H．伯恩斯坦等．皮亞捷茨基-沙皮羅於1990年夫數學獎．享有很高國際聲望的И．P．沙法列維奇*和．И．馬寧(MaHИH)，都曾師事蓋爾范特。
蓋爾范特具有幾乎不可思議的能力，洞察看來互不相關事物之間的聯繫．他具有提煉可以導致統一理解大量不同數學現象的單個觀念的天才．在早期研究中，他即以關於維納的陶伯型定理的代數特徵的深刻觀察而聞名．他後來的數學研究一直以分析方法與代數方法的結合為基本特徵．在1962年的國際數學家大會上，他提醒人們注意齊性空間的S函式與海森堡S矩陣之間的類似性，後來A．Д．法捷耶和拉克斯的研究果* 然證實了這一看法的重要性。
他的研究往往總是提出或發展基本概念，而不僅僅是提供技術性的資料．他常為後來者展示生動的圖景和考察所研究的課題的新途徑，指出進一步發展的線索．這樣，他的大部分研究就被吸收和融化到了當代數學發展的主流之中。
皮亞捷茨基-沙皮羅認為，蘇聯數學界有三位泰斗，就是柯爾莫哥洛夫、沙法列維奇和蓋爾范特，其中“蓋爾范特是最偉大的．他既具有沙法列維奇那樣深的數學造詣，又具有柯爾莫哥洛夫那樣廣博的知識．此外，蓋爾范特還有一個特別的才能：他能夠同時從事幾個基本領域的研究而並不感到增加工作的困難．……在這方面，蓋爾范特是無與倫比的。”
巴拿赫代數、調和分析
20世紀30年代中期，J．馮·諾伊曼(von Neumann)建立了馮·諾伊曼代數的艱深理論．多少有點奇怪的是，雖然當時也有人進行過關於交換賦范代數的零碎研究，卻一直沒有建立起一般理論．直到30年代末40年代初，才由蓋爾范特完整地創建了巴拿赫代數的系統理論。
在定義一般賦范環R後，蓋爾范特極富創造性地引進並抓住極大理想這一基本概念．他建立了R的特徵標空間到R的極大理想的空間之間的一一對應，定義了現稱為蓋爾范特變換的映射，並證明每個賦范環R都能同態地映到定義於R的極大理想構成的豪斯多夫空間上的連續函式環中，而這一同態為同構的必要充分條件是R中不存在廣義冪零元．他還證明賦范域必同構於複數域(蓋爾范特-馬祖爾定理)．
蓋爾范特另一極富創造性的思想，是把在此以前希爾伯特空間中線性運算元的譜論推廣到賦范代數的元素上，從而建立了一般譜論．對於R的元素x，他定義使得x-ζe(e是R的單位元)在R中不可逆的複數ζ的集合為x的譜．他洞察到為使這個概念富有成果，應假定R是完全的，這就是巴拿赫代數．他證明巴拿赫代數中任一元素x的譜是非空緊集．他稱以原點為中心、包合x的譜的最小圓的半徑為x的譜半徑，並
蓋爾范特創建的巴拿赫代數理論，幾十年來一直是泛函分析最活躍的研究領域之一．他關於極大理想的觀念，不僅革新了調和分析，而且對代數幾何的發展產生了很大影響．他建立的一般譜論，使得20世紀前30年中由D．希爾伯特(Hilbert)和馮·諾伊曼等建立的希爾伯特空間中運算元的譜論極大地簡單化和一般化．
在輝煌地建立賦范環論後，蓋爾范特[由M．A．奈瑪克(HaMAPK)合作]又創建了c*代數的一般理論．本來c*代數指的是希爾伯特空間中的一致閉運算元代數，但蓋爾范特和奈瑪克在其奠基性論文中指出無須使用希爾伯特空間，只要在賦范環中引進稱為對合的映射x→x*(滿足(x+y)*=x*+y*，(xy)*=y*x*，(λx)*=λx*，(x*)*=x，||x*x||=||x||2)，即可定義“一般的具有對合的賦范環”．文中證明了下述基本結果：每個非交換的具有對合的賦范環可實現為某個希爾伯特空間中線性連續運算元連同其自然對合(對應到伴隨運算元)所構成的環．具有對合的巴拿赫代數，就是現稱的c*代數．通過c*代數上的態，可以得到著名的GNS(蓋爾范特-奈瑪克-西格爾)構造．運用蓋爾范特的理論，就能得到先前F．里斯(Riesz)、馮·諾伊曼的“單位分解理論”和E．赫林格(Hellinser)、H．哈恩(Hahn)的“重數理論”的現代描述．到了50年代，c*代數已成為泛函分析的一個基本工具．由於可以把量子系統的觀測量代數解釋為c*代數，而這時量子系統的狀態相當於c*代數上的態，因此c*代數在60至70年代關於量子場論的公理化處理中起了主導作用．
蓋爾范特[由дA．拉伊科夫(PaKOB)合作]還運用賦范環論，把實數直線上的調和分析推廣到局部緊阿貝爾群上，同韋伊的工作一起，完整地建立了局部緊阿貝爾群上的調和分析．他指出局部緊阿貝爾群G上關於哈爾測度為可積的函式的全休L1(G)構成一個巴拿赫代數，定義L1(G)中元素f的傅立葉變換f，建立其反演公式以及相當於帕塞瓦爾等式和普朗切雷爾定理的命題，證明L1(G)的閉理想I等於L1(G)的必要充分條件是存在f∈L1(G)，使對G的每個特徵標x有f(x)≠0，當G為實數直線時，這個命題包含維納的廣義陶伯型定理．他(由奈瑪克合作)用賦范環論研究帶調和函式，證明對於群G在希爾伯特空間H中的不可約酉表示T和G的子群U，H中至多含有一個關於運算元Tu(u∈U)為不變的向量，從而為帶調和函式論建立了基礎。
群表示論
蓋爾范特一直十分關注分析中的代數問題．從40年代初期起，他就研究連續群的表示理論，把它看作體現代數與分析緊密結合的最為激動人心的分支．事實上，表示論也確實是40年代以來數學中最活躍的研究領域之一。
20世紀初，F．G．弗羅貝尼烏斯(Frobenius)和I．舒爾(Schur)研究了有限群的有限維表示．後來E．嘉當和H．外爾(Weyl)對緊李群的有限維酉表示進行了基礎性研究．由於物理學發展的需要，E．P．威格納(Wigner)在其關於非齊次洛倫茨群的論文中首次研究了無限維酉表示。
在1943年的論文中，蓋爾范特(由拉伊科夫合作)首先正確地提出表示論的基本問題：“表示為酉矩陣的自然推廣是表示為希爾伯特空間中的酉運算元”．文中基於酉表示與正定函式之間的聯繫，證明每個局部緊群具有不可約酉表示的完全系．這是抽象調和分析和群表示論中最重要的定理之一，為以後大量研究提供了基礎．
接著，從1944至1948年，蓋爾范特(由奈瑪克合作)在一系列論文(文獻，Vol．2，PP．41—137；；)中，構造了經典復李群的無窮維表示．他們從簡單明顯的公式，給出2階麼模復矩陣群SL(2，C)的所有不可約酉表示，把它們分為主系列和補系列，證明SL(2，C)的任一酉表示可分解為主系列和補系列中表示的直和．由於SL(2，C)局部同構於洛倫茨群，所以這一工作也首次給出了洛倫茨群的全部酉表示，從而也是對理論物理的一個貢獻．這項工作同1947年V．巴格曼(Bargmann)關於SL(2，R)不可約酉表示的研究一起，成為酉表示論的真正起點。
蓋爾范特進一步研究了復半單李群的不可約酉表示．以n階麼模復個參數的函式構成的空間中．他引進“廣義線性元素”z，在z的空間中引進適當的測度，考慮關於此測度為平方可積的函式的空間H．對於g∈G，由Tgf(z)=f(zg)α(zg)確定G到H中的運算元Tg(α由Tg1g2=Tg1Tg2和Tg為酉運算元來確定)．這樣定義的酉表示都是不可約的．按照在H上引進內積的不同方式，把這些表示分為主系列和補系列；考慮“具有刪節的廣義線性元素”，得到退化主系列和退化補系列．他對每種不可約表示求出相應的特徵標的具體形式．他定義了經典群不可約酉表示的跡，得到其顯式表示，並證明在不計等價意義下表示為其跡唯一決定．
對於k為任意局部緊非離散域時SL(2，k)的酉表示，他[由M．И．戈拉葉夫(ΓpaeB)合作]建立了統一的理論，完整列舉了SL(2，k)的不可約酉表示，指出除主系列和補系列外，還有3個離散表示系列和1個奇異表示系列，並用特徵標給出普朗切雷爾公式。
由於數學與流體力學、量子場論中常出現無窮維李群，蓋爾范特[由戈拉葉夫、A．M．韋爾希克(BepШИk)等合作]對無窮維酉表示也進行了很多研究．例如，對於具有規範理論背景的群Gx(黎曼流形X上取值於緊半單李群G中的光滑函式組成的群)，藉助毛瑞爾-嘉當閉上鏈，構造出Gx在福克空間expX上的表示系列，證明當dimX≥4時這些表示是不可約的．(後來別人證明dimX=3時是不可約的而dimX=1時則是可約的。)
蓋爾范特對自守形式作了重要研究，他認為自守函式論中幾乎所有問題都可陳述為把給定半單李群G在函式空間中的表示分解為不可約表示．在1952年關於常負曲率流形上測地流的論文中，他證明自守形式的空間的維數等於離散序列的表示在給定表示中出現的重數．後來他又由И．И．皮亞捷茨基-沙皮羅合作，對半單李群G在空間G/T(T是G子群)中表示的譜進行了系統研究，得到了蓋爾范特-皮亞捷茨基-沙皮羅互反律(G/T上正則表示中不可約表示U的重數等於U的所有自守形式構成的線性空間的維數)和跡公式。
蓋爾范特對表示論的研究歷時40餘年，幾乎對這個領域的所有方面都有建樹．例如，他在研究李代數的包絡代數時提出的現稱為蓋爾范特-基里洛夫維數的概念，導致V．卡茨(Kac)對這種維數為有限的代數進行分類，進而提出在理論物理中很有用的卡茨-穆迪代數。
蓋爾范特關於經典群的無窮維表示可以與有限維表示一樣具有清晰優美的描述的基本觀點，已被證明是十分深邃的．儘管像E．嘉當、外爾、A．賽爾伯格(Selberg)、韋伊這樣的大師都對表示論進行過研究，但按A．A．基里洛夫的範圍廣闊、方法深刻、結果完善而言，蓋爾范特是無與倫比的。
積分幾何
積分幾何的系統研究始自W．J．E．布拉施克(Blaschke)．但蓋爾范特認為，20世紀50年代以前它的研究領域相當狹窄，主要是對某些齊性空間計算不變測度．他提出積分幾何的基本課題應當是：在空間X內給定依賴於參數λ1，…，λk的解析流形M=M(λ)=M(λ1，…，λk)，對於X上滿足一定條件的函式f(x)，作沿所給流形的；如是，求出通過I(λ)表達f(x)的公式，並研究λ的何種函式可表示為上述形式的積分．對於Cn中的平面復形，他解決了積分幾何的基本問題。
蓋爾范特(由戈拉葉夫合作)在積分幾何研究中創造了強有力的“極限球面’方法．設X是作用在變換群G上的齊性空間，則對每個g∈G，群G在X上的函式f(x)的空間E中有由Tgf(x)=f(xg)定義的表示，這種表示須分解為不可約表示，於是積分幾何就與表示論自然地聯繫在一起．在對半單李群解決分解問題時，他提出在X中挑出稱為“極限球面”的子流形(它是Rn中超平面概念的推廣，當X是羅巴切夫斯基空間、G是X中的運動群時，就是經典的極限球面)，把G看成作用於極限球面構成的空間X'上．一般地說，G在X'上的函式的空間E'，他發現對於復半單李群解調和分析中許多問題都可歸結為用極限球面方法解積分幾何問題．他還給出通過積分幾何方法構造纏結運算元的一般原理。
廣義函式
蓋爾范特是充分看出C．索伯列夫和隨後L．施瓦爾茨(Schwartz)關於廣義函式的理論的重要性和遠大前景的第一位蘇聯數學家．在50年代後廣義函式論的發展中，蓋爾范特及其合作者起了帶頭作用．早在1953年，他就提出能夠而且必須在各種基本函式空間上構造廣義函式並對不同問題選取最適合的函式空間的思想。這個思想使廣義函式成為具有廣泛適應性的工具，得以套用於微分方程、表示論、積分幾何、隨機過程論等領域。
1958年至1966年，蓋爾范特與F．E．希洛夫、H．維列金、戈拉葉夫、皮亞捷茨基-沙皮羅合版了以《廣義函式》為總標題的6卷巨著．第一卷討論廣義函式的定義及基本性質，廣義函式的傅立葉變換和各種特殊類型的廣義函式．第二卷考察各種類型基本函式空間和其上的廣義函式以及相應的傅立葉變換．第三卷套用廣義函式研究偏微分方程組柯西問題解的唯一性類和適定性類以及自伴微分運算元按特徵函式的展開．第四卷主要研究核空間及其套用並引進裝備希爾伯特空間，後者使許多結果更加完備優美．此卷還討論正定廣義函式、廣義隨機過程與線性拓撲空間上的測度論．第五卷以積分幾何為基礎，研究洛倫茨群以及與之有關的齊性空間上的調和分析．第六卷中研究表示論與自守函式．這套書享有國際盛譽，有中、英、法、德文譯本，已成為訓練分析學家的基本教材和經典著作。
無窮維李代數的上同調
C．謝瓦萊(Chevally)和S．艾倫伯格(Eilenberg)於1948年給出了李代數上同調的形式定義．在其後20年中，有限維李代數的上同調論得到了廣泛發展．1968年起，蓋爾范特[主要由Д．B．富克斯(ФyKC)合作]寫了一系列論文，研究無窮維李代數的上同調．這一理論現稱為蓋爾范特-富克斯上同調．他們證明，如果M是n維閉可走向微分流形，u(M)是M上光滑切向量構成的李代數，以泊松括弧為換位運算，則對任何q，同調空間Hq(u(M)；R)是有限維的；當0≤q≤n
R)由一個2維生成子和一個3維生成子生成，這兩個生成子都有簡單的顯式表示．
對於Rn中形式向量場的李代數Wn，蓋爾范特等通過格拉斯曼流形的骨架引進空間Xn，證明對所有q，n，Hq(Wn；R)同構於Hq(Xn；R)；環H*(Wn；R)中的乘法是平凡的，即兩個正維數元素之積為零．空間Xn的上同調可以用標準的拓撲方法計算，例如，當0<q≤2n和q>n(n+2)時它是平凡的．他在研究Wn的上同調中所建立的許多引理，後來表明與葉狀結構示性類的構造有密切聯繫，具有重要的意義。
由於蓋爾范特-富克斯上同調與代數幾何、代數數論、分析、量子場論以及幾何中許多問題有關，因而這項研究在國際上引起了很大反響，激發了大量的後繼研究，例如C．戈德比隆(Godbillon)和J．維伊(Vey)的工作。
微分方程
微分運算元的譜與該運算元中係數之間的關係，對於套用是一個重要問題．考慮在(0，+∞)上給定的二階微分方程y"+(λ-q(x))y=0及邊界條件y(0)=1，y'(0)=h，其中q(x)在任一有限區間上連續．熟知這時存在譜函式ρ(λ)．蓋爾范特[由M．列維坦合作]於1951年研究其反問題：給定函式ρ(λ)，定是否存在上述形式的微分方程，以所給ρ(λ)為其譜函式；如果存在，確定計算q(x)的方法．雖然此前已有人在這方面從事過研究，但蓋爾范特用了獨創的方法即轉化為積分方程的方法．他通過積分方程表述了ρ(λ)是所給問題的譜函式的必要充分條件．對於有限區間上的同類方程及邊界條件，他證明對於滿足漸近等式的任一數列，都能構造q(x)，使所給數列是相應的特徵值序列對於[0，π]上的微分方程y"+(λ-q(x))y=0-hy(0)=0，y'(π)+Hy(π)=0的特徵值序列{λn}，他們得到十分簡單的等式其中{μn}是方程y"+μy=0連同上述邊界條件的特徵值序列．對於最簡單的邊界條件y(0)=y(π)=0，就有蓋爾范特建立的通過轉化為線性積分方程解逆譜問題的方法，後來為L．S．伽德納(Gardner)等在研究kdV方程孤立子解時所採用，以後由P．D．拉克斯(Lax)等發展為求解非線性微分方程初值問題的一種系統方法——散射反演方法。
1960年，蓋爾范特提出了橢圓型偏微分方程的同倫分類問題。其實他於1945至1946年已在討論班上提出過這一問題。他給出兩個方程或問題為同倫的定義，指出尋找同倫不變數並用方程的係數加以描述具有重要意義，並特別指明“可以預期的一個同倫不變數是問題的指標，即給定齊次問題線性無關解的個數與相應的伴隨齊次問題線性無關解個數之差”。這篇短文影響深遠，啟發了關於指標理論的持久研究．M．F．阿蒂亞(Atiyah)和I．M．辛格(Singer)在牛津考慮他們著名的指標定理時，該文是他們最早接觸到的論文。
70年代後半期，蓋爾范特[由ДA．狄基合作]再次研究逆譜問題，發現第k個拉克斯運算元正是，其中D2+q是希爾方程，(D2+q)是其s復冪，(D2+q)是其按D作偽微分展開時的正部。這個結果在以後R．B．艾德勒(Adler)等的研究中起了重要作用。蓋爾范特還發展了一種形式變分法理論，揭示了孤立子方程的哈密頓特徵，並為代數地計算其積分提供了形式工具。
生物學和生理學
蓋爾范特於1958年開始研究生物學和生理學．他先開設一個有關的討論班，然後與其他領域專家組織了一個使生理學家、物理學家和數學家在研究的各個階段都能互相交流合作的實驗室。該室實施了關於運動控制和小腦生理學的許多研究項目。他同M．瓦西列夫合作，在莫斯科大學建立了生物學數學方法系際實驗室。
蓋爾范特與M．采特林等合作，用獨創的“深谷法”研究運動的操作控制。他與И．阿爾沙夫斯基等合作，提出了非個體控*制多層系統的觀念，通過對可控制運動的標本的實驗，證實脊髓中存在信號傳遞途徑，還研究了通過不同路徑進入小腦信號之間的差別(1969)。
在蓋爾范特等研究肝肌腹水腫瘤細胞複合體的過程中，發現肝腹水有兩類新的細胞間接觸作用——有絲分裂圈的同步化和增殖的接觸加速．他們通過成纖維細胞培養，揭示了兩組形態發生過程——殼層細胞質的產生和細胞的極化。
蓋爾范特與另外幾位學者合寫了關於培養中的腫瘤細胞與正常細胞，關於正常細胞、腫瘤細胞與培養基的相互作用以及關於小腦與有節奏運動的控制等三部專著。
應當強調，除最早幾篇論文外，蓋爾范特完全是以生物學專家的面貌，同有關專家合作做大量實驗並進行理論探討，而不是把數學方法套用於生物學，也不是開發生物學的數學模型。
其他領域
蓋爾范特對計算數學的發展做出了貢獻．他與別的學者合作，提出研究一類差分問題穩定性的有效方法和解隱式差分格式的復搜尋法；提出梯度法不能奏效時可用的“深谷法”，並把此法用於質子散射的相位分析與晶體結構辨認．他與物理學家合作進行了世界上關於穩定磁流體動力學的最早幾個數值計算之一。
蓋爾范特與伊藤清同為廣義隨機過程論的奠基者．他定義了廣義隨機過程，研究其特徵泛函，建立了獨立值廣義隨機過程理論，這項工作為白噪聲分析提供了精確的數學基礎。
蓋爾范特還研究醫學診斷．他同有關專家合作於1971年研製成功出血後果預後機，可在病人進院後6小時的信息基礎上判斷該用保守療法抑或動手術。他發展了稱為診斷博弈的方法，並把它成功地套用於醫學的許多問題。
70年代中期以來，蓋爾范特的注意力部分轉向幾何學．他得到第一龐特里亞金有理類的組合公式，對格拉斯曼流形的幾何進行了研究並在任意正規龐特里亞金類的公式上取得顯著進展。
蓋爾范特與地球物理學家、套用數學家合作，提出了識彆強烈地震潛在震源的一種方法。他同蘇、美一些學者聯名發表的關於模式識別套用於加利福尼亞地震震中的論文(Phys．Earth PlanetInter。是強震模式識別的奠基性論著．他與另外四位學者合寫了關於中亞和東亞地區可能的強震震源識別的專著。
1986年，73高齡的蓋爾范特發表關於超幾何函式一般理論的論文，以後他又同人合作展開了廣泛的研究。他觀察到高斯超幾何函式可以自然地用約翰變換來解釋，由此推廣到多維情形，並對超幾何函式各種表面上互不關聯的特例提供統一的闡述，開創了一種富有前景的新理論。
研究工作的特點
從上面關於蓋爾范特科學成就的簡略介紹中，可以看到他研究領域之廣泛，令人驚嘆．B．科斯坦特(Kostant)認為，在20世紀後半期，蓋爾范特比任何別的數學家在更多的領域發表了大量開拓性論著。在這方面，20世紀前半期中也只有希爾伯特和外爾可與之相比。
與研究領域廣闊相聯繫，同他合作的科學家數量多得驚人．迄今以蓋爾范特個人名義發表的論文有33篇，只占他發表論文總數的7%；而同他聯名發表論文的作者，共有206位(包括中國數學家夏道行)．合作發表50篇以上者2位；20至49篇者5位；10至19篇者22位；5至9篇者21位。這些論文署上蓋爾范特的姓名，決不只是出於對導師的尊重，而主要是因為他確實深入到了這些課題的研究．正如皮亞捷茨基-沙皮羅所說，1958年後蓋爾范特幾乎不再獨自進行研究，在合作中他以提出課題時是“催化劑”，遇到困難時是“救火隊”，研究完成時是細緻的、毫不留情的批評者而聞名。
蓋爾范特的科學研究與教學工作緊密相聯．他經常講授入門課程，上課時善於啟發和提出問題。他於1944年開辦泛函分析討論班，後又開設理論物理討論班．他不斷提出獨特的問題，作出深刻的觀察，找出克服困難的線索，從而使他的討論班成為蘇聯發展泛函分析和培養數學新秀的主要中心之一．同他合作的年輕人很多，大都來自他的討論班．他建立了蓋爾范特學派，其中有不少有成就的數學家，如皮亞捷茨基-沙皮羅、Д．A．卡日坦(K奈瑪克、希洛夫、福明、、安德烈·塞邁雷迪（2012年阿貝爾獎得主）、基里洛夫、戈拉葉夫、富克斯、И．H．伯恩斯坦等．皮亞捷茨基-沙皮羅於1990年獲得沃爾夫數學獎。享有很高國際聲望的И．P．沙法列維奇*和．И．馬寧(MaHИH)，都曾師事蓋爾范特。
蓋爾范特具有幾乎不可思議的能力，洞察看來互不相關事物之間的聯繫。他具有提煉可以導致統一理解大量不同數學現象的單個觀念的天才。在早期研究中，他即以關於維納的陶伯型定理的代數特徵的深刻觀察而聞名。他後來的數學研究一直以分析方法與代數方法的結合為基本特徵．在1962年的國際數學家大會上，他提醒人們注意齊性空間的S函式與海森堡S矩陣之間的類似性，後來A．Д．法捷耶和拉克斯的研究果* 然證實了這一看法的重要性。
他的研究往往總是提出或發展基本概念，而不僅僅是提供技術性的資料。他常為後來者展示生動的圖景和考察所研究的課題的新途徑，指出進一步發展的線索。這樣，他的大部分研究就被吸收和融化到了當代數學發展的主流之中。
皮亞捷茨基-沙皮羅認為，蘇聯數學界有三位泰斗，就是柯爾莫哥洛夫、沙法列維奇和蓋爾范特，其中“蓋爾范特是最偉大的。他既具有沙法列維奇那樣深的數學造詣，又具有柯爾莫哥洛夫那樣廣博的知識。此外，蓋爾范特還有一個特別的才能：他能夠同時從事幾個基本領域的研究而並不感到增加工作的困難……在這方面，蓋爾范特是無與倫比的。
