總變差

在數學領域總變差就是一函式其數值變化的差的總和。

基本介紹

• 中文名：總變差
• 外文名：total variation
• 定義：一函式其數值變化的差的總和
• 相關術語：高斯散度定理
• 套用學科：數學
• 套用領域：數學

定義

矢量空間

實值函式ƒ定義在區間[a,b]⊂'R的總變差是一維參數曲線x→ƒ(x) ,x∈[a,b]的弧長。連續可微函式的總變差，可由如下的積分給出

任意實值或虛值函式ƒ定義在區間[a,b]上的總變差，由

定義。其中_P為區間[a,b]中的所有分劃。

定義在有界區域上的實值可積函式ƒ的總變差定義為

其中 是Ω中的緊支集上全體連續可微向量函式構成的集合, 是本質上確界範數。

若ƒ可微，上式可簡化為

度量空間

在一個度量空間上，集函式，其總變差為：

其中為E的劃分。 如果是符號測度，通過漢分解定理可知：

可微定義證明

首先需要利用高斯散度定理證明一個等式。

引理

在假設條件下，下面的等式成立：

引理證明

由高斯散度定理，將代入，可得

由於在的邊界上，從而

注意到代入上式，移項即得

如果函式f的總變差有限，則稱函式f為有界變差函式。

參閱

• 有界變差
  
• 總變差規則化
  
• 二次變差